Teilmengen in ihre Schranken weisen

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Aris-tot-ele´s Auf diesen Beitrag antworten »
Teilmengen in ihre Schranken weisen
Hallo Mathefreunde.

Ich habe folgende Aufgabe:



wenn gilt:

Okay. Eigentlich sollte das ganze nicht so schwer werden.

Ich habe angefangen und gesagt nun gut.

Als erstes habe ich folgendes betrachtet:



und

,

da wir betrachten, müsste doch typischer weise auch gelten.

So wenn man das nun soweit hat, kann man ja sagen

Also haben wir,



Allerdings glaube ich nicht, dass ich das so hinschreiben darf, bzw. ich muss doch bestimmt das ganz noch irgenwie anders zeigen.

Ein Tip (bitte keine Lösung, auch wenn ich eure Hilfe zu schätzen weiss) wäre nett.

Wenn das alles quatsch ist was ich hier geschrieben habe, sagt das bitte auch ruhig. Dann geh ich nochmal im Keller lernen.

Danke smile
Huy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen in ihre Schranken weise
Zitat:
Original von Aris-tot-ele´s
da wir betrachten, müsste doch typischer weise auch gelten.

Was ist a und was ist b?

MfG
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht in die richtige Richtung, du solltest aber noch etwas genauer begründen, wieso auch gilt.

Was wir wissen: , außerdem , wenn wir mal mit das Supremum von bezeichnen. Warum ist mit diesen Informationen jetzt ?

Edit: Da war wer schneller, ich bin raus. smile
Aris-tot-ele´s Auf diesen Beitrag antworten »

@Huy Sorry hatte ich vergessen,
Aris-tot-ele´s Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich handelt es sich um eine beschränkte, nichtleere Menge.
Sonst macht die ganze Aufgabe ja keinen Sinn
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aris-tot-ele´s
@Huy Sorry hatte ich vergessen,

Ich meinte die kleingeschriebenen a und b. ^^ (und streng genommen sind A und B Teilmengen von R, nicht Elemente)

MfG
Aris-tot-ele´s Auf diesen Beitrag antworten »

Da hattest du natürlich recht, ich wollte auch ein kleines a,b machen.

Aber trotzdem danke für den Hinweis, da soetwas zu korrigieren genauso wichtig ist wie die richtigkeit der Aufgabe. Big Laugh
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht mir um die Richtigkeit der Lösung. Du behauptest, dass aus folgt, dass sein muss. Allerdings machst du keine Aussage darüber, was denn a und b sein sollen.
Für beliebige gilt die Aussage nämlich sicher nicht...

MfG
Aris-tot-ele´s Auf diesen Beitrag antworten »

@Warum ist mit diesen Informationen jetzt ?


Naja, weil a nicht größer sein kann als b . Denn wäre dies der Fall würde , für nicht mehr gelten
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aris-tot-ele´s
@Warum ist mit diesen Informationen jetzt ?


Naja, weil a nicht größer sein kann als b .

Ich bin mir sicher, dass ich nicht die einzige Person bin, die diese Aussage nicht versteht. Falls meine Vermutung richtig ist, willst du ausdrücken:
Das ist aber FALSCH!

MfG
Aris-tot-ele´s Auf diesen Beitrag antworten »

@Huy das stimmt und das habe ich auch noch ergänzt, damit die Aussage sinn ergibt.

Ich schreibe hier nochmal die ganze Aufgabe hin:

Zu zeigen ist,

für und
Es handelt sich bei dieser Menge um einer beschränkten Menge.
Aris-tot-ele´s Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir sicher, dass ich nicht die einzige Person bin, die diese Aussage nicht versteht.

Da bin ich mir sicher ich verstehe sie ja selber nichtmal. Ich glaube ich lass das Latex mal weg.

Also wenn wir zwei Mengen A und B betrachten, und es sich bei A um eine Teilmenge von B handelt, dann darf das größte Element, nicht größer sein als das Element von B. Denn sonst wäre es keine Teilmenge mehr.

Wenn ich dies also zeigen kann, wäre ich im prinzip ja fertig.
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aris-tot-ele´s
Also wenn wir zwei Mengen A und B betrachten, und es sich bei A um eine Teilmenge von B handelt, dann darf das größte Element, nicht größer sein als das Element von B. Denn sonst wäre es keine Teilmenge mehr.

Damit sprichst du aber bereits von Maxima und nicht mehr von Suprema. Was du zeigen musst, ist, dass für beschränkte Mengen gilt: . Nicht mehr und nicht weniger.

MfG
Aris-tot-ele´s Auf diesen Beitrag antworten »

"
Das ist aber FALSCH!"

Das stimmt, weil es sicherlich nicht auf alle Elemente beziehen darf. Da hatte ich mich ein wenig verkalkuliert. Das wollte ich auch garnicht ausdrücken, aber siehe über mir den Post
Aris-tot-ele´s Auf diesen Beitrag antworten »

Damit sprichst du aber bereits von Maxima und nicht mehr von Suprema. Was du zeigen musst, ist, dass für gilt: . Nicht mehr und nicht weniger.

Das ist korrekt. Stimmt da hab ich jetz so garnicht drüber nachgedacht.
Dann denke ich wohl lieber nochmal von anfang an, die ganze Aufgabe durch.

Ich melde mich dann später wieder.

Vielen dank schonmal. Big Laugh
Aristotele´s Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe nochmal kurz nachgedacht, aber ich bin nicht wirklich weiter gekommen

für mich scheint es einfach zu trivial, dass , denn wenn wir betrachten das



wenn gilt: , wobei und es sich um eine beschränkte Menge handelt.

Den damit wirklich gilt, gibt es kein für das gilt , für , denn sonst wäre .

Da das , so definiert ist, dass , und das selbe ebenfalls für das Sup B gilt also , wenn a',b' die kleinste obere Schranke (sup.) bezeichnen soll, muss doch schon alleine folgern das wenn gilt auch gilt.

verwirrt
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aristotele´s
muss doch schon alleine folgern das wenn gilt auch gilt.

Erneut meine Frage: Was ist a und was ist b in dieser Ungleichung?
Ich bin mir übrigens ziemlich sicher, dass du den Beweis schon lange im Kopf hast, aber aus irgendeinem Grund nicht dazu in der Lage bist, ihn einfach sauber aufzuschreiben.

MfG
Aristoteli´s Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Erneut meine Frage: Was ist a und was ist b in dieser Ungleichung?


Ja und , da die Mengen A,B\in \mathbb R, ist klein a bzw. b irgendeine Reelezahl dieser beschränkten Menge.

Oder nicht ?
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Aber gilt NICHT für alle und ...

MfG
Aristoteli´s Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut, da es sich um Reellezahlen handelt gibt es eigentlich nur "mindestens" eine Zahl für die das gilt.

Da z.B. die Schranke für A sagen wir mal bei 2 liegen kann, und bei B 4 (nur ein beispiel).

Für 1,1 gibt es natürlich noch eine zahl die Größer ist nämlich 1,11 usw.

Deswegen wäre es formal korrekt zu schreiben,

ist es das worauf du hinaus willst ?

Ansonsten fällt mir leider nichts mehr ein.
Das ist wirklich zum unglücklich
Aristoteli-s Auf diesen Beitrag antworten »

Für 1,1 gibt es natürlich noch eine zahl die Größer ist nämlich 1,11 usw.

Das gilt natürlich auch wenn die Schranken gleich sind, ansonsten würde es bedeuten a<b.

Denn wenn die Mengen nicht gleich beschränkt sind, findet man immer eine die Größer ist.
Und somit könnten sie nicht gleich sein.
Aristoteli-s Auf diesen Beitrag antworten »

Beziehungs weise meinte ich damit a<b. natürlich nicht dass alle a<b sind, sondern nur dass es keine Gleichheit gibt, wenn die Schhranken nicht auch gleich sind, also dass das Supremium nicht gleich sein kann von beiden Mengen, wenn nicht auch beide Mengen nicht die selbe größte Zahl haben, und das gilt nur wenn beide gleich beschränkt sind da es sich sonst bei beiden zahlen finden lässt die größer sind.
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aristoteli´s
ist es das worauf du hinaus willst ?

Das ist eine - in diesem Fall für a in A und b in B - richtige Aussage, allerdings nicht das, worauf ich hinaus will. Ich will eigentlich nur darauf hinaus, dass deine Behauptung a <= b nicht für alle a in A und b in B stimmt.

Da wir hier irgendwie nicht vorwärts kommen, mal ein Tipp:
Das Supremum ist die kleinste, obere Schranke einer Menge. Das heisst, für alle b in B gilt b <= sup B. Nun ist A eine Teilmenge von B. Was kannst du demnach hieraus für alle a in A folgern?

MfG
Aristoteli´s Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Da wir hier irgendwie nicht vorwärts kommen, mal ein Tipp:
Das Supremum ist die kleinste, obere Schranke einer Menge. Das heisst, für alle b in B gilt b <= sup B. Nun ist A eine Teilmenge von B. Was kannst du demnach hieraus für alle a in A folgern?


Okay also da A, eine Teilmenge von B ist, liegen natürlich alle a von A auch in B.

und für A gilt a <= sup a
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig, aber nicht das, worauf ich hinaus wollte. Nochmal:
Für alle b in B gilt b <= sup B. Nun sind alle a auch Elemente der Menge B. Also gilt für alle a: ?

MfG
Aristoteli-s Auf diesen Beitrag antworten »

Das sie ebenfalls a <= sup b sind ?

Das sie ebenfalls a>= inf b sind ?

All dies ist möglich.

Also mehr fällt mir nun wirlich spontan nicht mehr. Ich hab schon irre kopfschmerzen deswegen Big Laugh
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Das wichtige ist, dass für alle a in A: a <= sup B gilt. Das heisst also, dass sup B eine obere Schranke von A ist. Was ist nun die Definition von sup A nochmal?

MfG
Aristoteli-s Auf diesen Beitrag antworten »

a <= sup a
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Falsch.

MfG
Aristoteli-s Auf diesen Beitrag antworten »

Jetz bin ich verwirrt verwirrt

a<= sup A wieso sollte das nicht gelten, es steht ja sogar in der Aufgabe geschockt

Ich meine das sup A charakterisiert doch, dass alle a<= sup a sind.

Also kann diese aussage doch nicht falsch sein.

Und das ist doch die Defintion des Supremums, es ist die kleinste obere schranke ist gibt keinen Wert, der über dieser schranke liegt.

Hm, ich muss jetz sowieso weg, ich mache dann morgen weiter.

Danke schonmal das du soviel gedult hattest Big Laugh
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aristoteli-s
a<= sup A wieso sollte das nicht gelten, es steht ja sogar in der Aufgabe geschockt

Ich habe nie behauptet, dass das nicht gilt. Ich habe allerdings nach einer Definition des Supremums gefragt und das Supremum ist sicher nicht einfach eine Zahl, sodass a <= sup A gilt.

Zitat:
Ich meine das sup A charakterisiert doch, dass alle a<= sup a sind.

Nein, das wäre die Definition einer oberen Schranke.

Zitat:
Und das ist doch die Defintion des Supremums, es ist die kleinste obere schranke ist gibt keinen Wert, der über dieser schranke liegt.

Da haben wir's doch: Das Supremum ist die KLEINSTE obere Schranke einer Menge. Nicht einfach irgendeine obere Schranke. Nochmal zur Aufgabe: Wir wissen, dass für alle a in A gilt: a <= sup B. Also ist sup B eine obere Schranke von A. Was ist die Definition des Supremums von A? Es ist die kleinste obere Schranke von A. Und was folgt dadurch für sup A im Verhältnis zu sup B?

MfG
Aristotelieese Auf diesen Beitrag antworten »

So frisch ausgeschlafen und top fit, mache ich mich erneut ans Werk, hóffentlich diesmal ein wenig besser als letztesmal, das war ja wirklich.....

Zitat:
Und was folgt dadurch für sup A im Verhältnis zu sup B?


Das sup A natürlich kleiner ist als sup B.
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, dass sup A höchstens so gross ist wie sup B. Also kleiner gleich. Augenzwinkern

MfG
Aristoteeles Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist natürlich richtig. Aber das wollte ich auch eigentlich garnicht so damit sagen, aber ich denke wir verstehen uns Big Laugh

Ich glaube ich muss lernen mich mal richtig auszudrücken Big Laugh
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