Übungsaufgabe Vektorraum

11.11.2011, 18:05

martinio

Übungsaufgabe Vektorraum

Hallo zusammen,

mag mir vll. jemand helfen bei dieser Aufgabe?

Zitat:

Es seien A eine Menge, K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Zeige, dass die Menge $\begin{eqnarray*} \Im \end{eqnarray*}$ der Funktion $\begin{eqnarray*} f : A \longrightarrow V \end{eqnarray*}$ einen Vektorraum bildet, wenn man die Verknüpfungen elementarweise erklärt, d.h. für $\begin{eqnarray*} f,g \in \Im , \lambda \in K \wedge x \in A: \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\lambda.f)(x) := \lambda.(f(x)) \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:
Ich weiß leider nicht ganz genau was zutun ist, aber da ich den tipp bekommen habe mal nach der definiton im skript zu gehen, habe ich das mal getan.

+ : $\begin{eqnarray*} \Im \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \Im \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \longrightarrow \Im \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (f+g)(x) \longrightarrow f(x)+g(x) \end{eqnarray*}$

Dazu die Axiome für einen Vektorraum:

A1) $\begin{eqnarray*} \forall f(x), g(x) , h(x) \in \Im: ((fx)+g(x))+ h(x) = f(x)+(g(x)+h(x)) := f(x)+g(x)+h(x) \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \forall x^{f}, x^{g} , x^{h} \in \Im: (x^{f}+x^{g})+ x^{h} = x^{f}+(x^{g}+ x^{h}) = x^{f}+x^{g}+ x^{h} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{f} \end{eqnarray*}$ = x von f , fand keine bessere nominierungsmöglichkeit.
könnte es sein, dass an dieser stelle vll. ein tupel/trippel stehen müsste??!
A2) ....

undsoweiter für die anderen Axiome , glaube aber das ist völliger humbug traurig

11.11.2011, 18:17

Elvis

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Nö, kein Humbug, geht so.Bißchen besser:
$\begin{eqnarray*} \forall x: ((f+g)+h))(x)=(f+g)(x)+h(x)=((f(x)+g(x))+h(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =f(x)+(g(x)+h(x))=f(x)+(g+h)(x)=(f+(g+h))(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (f+g)+h=f+(g+h) \end{eqnarray*}$

11.11.2011, 20:58

martinio

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merci !
hab nochmal eine andere frage, warum ist es legitim ein neue funktion wie h(x) einfach dazuzuziehen?
das ist mir mehrfach schon aufgfallen, wenn man körperaxiome beweisen will...

11.11.2011, 23:47

martinio

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noch eine kleine frage.

für das dritte axiom fürs nullelement, wäre es in ordnung es so zuformulieren?

$\begin{eqnarray*} \exists 0 \in \wedge \forall x: f(x-0)=f(x) \end{eqnarray*}$

12.11.2011, 16:05

Elvis

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Das Assoziativgesetz gilt für je drei Element aus der Menge, also muss man drei Elemente der Menge betrachten, z.B. die drei Elemente f,g,h.

Das Nullelement muss eine Funktion sein, weil $\begin{eqnarray*} \Im \end{eqnarray*}$ eine Menge von Funktionen ist. Lehrer

Vorschlag: $\begin{eqnarray*} 0\in\Im \end{eqnarray*}$ sei die Nullfunktion, die jedem Element von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ den Nullvektor $\begin{eqnarray*} 0\in V \end{eqnarray*}$ zuordnet, also $\begin{eqnarray*} 0:A\to V, x\to 0(x)=0 \end{eqnarray*}$

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