Untergruppen von Z

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11.11.2011, 18:10	breezy	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppen von Z Hallo, habe heute eine kleine Hausübung bekommen (bin im 1. Semester sollte also für euch nicht so schwer sein ). Hier erstmal die Aufgabe (steht genauso auf dem Blatt, keine Verknüpfungszeichen!) Wir betrachten die Gruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb Z , + ) \end{eqnarray}$ a) Zeigen Sie, dass für jedes $\begin{eqnarray} k \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ die Menge $\begin{eqnarray} k\mathbb Z := \left\{ kn\|n \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray}$ eine Untergruppe ist. b) Zeigen sie, dass jede Untergruppe von $\begin{eqnarray} (\mathbb Z , +) \end{eqnarray}$ von dieser Form ist. Nun zu meinem Ansatz bzw zu meinen Fragen. Aus der Aufgabe lässt sich schließen dass ich die 3"Vorraussetzungen" für eine Untergruppe beweisen muss (i.e. (1)für alle a,b E UG gilt: a x b E UG, (2)für alle a E UG gilt: a^-1 E UG (3) neutrales Element ist enthalten) Um erstmal die Aussage zu verstehen die da gegeben ist (für Teilaufgabe (a)) Meine Untergruppe ist das kZ := {...} k ist selbst nicht Element dieser Untergruppe sondern aus der Gruppe Z im allgemeinen. Jedoch ist n aus der Untergruppe? (stimmt diese interpretation?) hierbei geht es mir welchen der beiden buchstaben ich abändern/ substituieren darf) Die Aufgabe würde ich deshalb nun wie folgt lösen: Beginnend mit dem neutralen Element: (n aus der Untergruppe) für n=k^-1 folgt aus kn dann kk^-1 = e Stimmt dies? weiterführend für a^-1 E UG müsste ich kn so wählen, dass ich für kn = k^-1 erhalte oder? so weit erstmal Liebe Grüße, und schonmal lieben dank für eure Hilfe...
11.11.2011, 18:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ ist eine additive Gruppe. Das neutrale Element heißt Nullelement, wird auch 0 geschrieben. Das Inverse zu a heißt negatives Element und wird -a geschrieben. Hier wird addiert, nicht multipliziert !
11.11.2011, 18:20	breezy	Auf diesen Beitrag antworten »
gut, das hatte mich auch ein wenig verwundert weil das ja oben steht, allerdings die elemente in der untergruppe ohne verknüpfungszeichen oder ähnliches aneinander gesetzt wurden (wie man es aus vereinfachungszwecken bei der multiplikation üblicherweise macht). okay, demnach wäre das neutrale element wie du bereits sagtest 0. "Der Beweis" für das neutrale Element wäre demnach n= -k sprich k + (-k) = 0 ?
11.11.2011, 18:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ich habe gesagt, das neutrale Element heißt 0. Nimm ein beliebiges aber festes $\begin{eqnarray} k\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Dann ist neutrales Element : $\begin{eqnarray} 0=k\cdot 0\in k\cdot \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Das musst du nur noch beweisen.
11.11.2011, 18:31	breezy	Auf diesen Beitrag antworten »
achso ich muss mein k so wählen dass in der Untergruppe dann die Regeln gelten? edit: das ist quatsch.... moment... wer lesen kann ist klar im vorteil ... mein fehler
11.11.2011, 18:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, gilt für jedes k. Das musst du beweisen.
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11.11.2011, 18:48	breezy	Auf diesen Beitrag antworten »
also nochmal, der einfachheit hab ichs mal durchnummeriert, dann kannst du mir vllt sagen welche aussagen von mir richtig sind, es hapert denke ich immernoch leicht am verständnis der aufgabenstellung... 1)mein k ist aus der Gruppe (Z,+) 2)dieses k ist wiederum mit einem n verknüpft und bildet damit die Menge kZ die eine Untergruppe ist. 3) Ich wähle für n=0, da mein k ja beliebig sein soll 4) dann habe ich k+0 = k, also habe ich k mit einem n verknüpft und das ergebnis ist wiederum k, was bedeutet, dass das element mit dem ich verknüpft habe das Nullelement ist. ( dass 0 das neutrale element der addition ist ist ja mehr als logisch) ich stell mich grad an wie der letzte trottel wahrscheinlich :/
12.11.2011, 15:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ich sehe, hast du noch gar nichts kapiert. Mach dir nichts daraus, ich helfe dir jetzt mal auf die Sprünge. Machen wir ein Beispiel und wählen k=3 (war ja beliebig, jetzt ist es fest). Dann ist $\begin{eqnarray} 3\mathbb Z=\{3n\|n\in \mathbb Z\}=\{...,-9,-6,-3,0,3,6,9,...\}\subset\mathbb Z \end{eqnarray}$ jedenfalls eine Teilmenge der ganzen Zahlen. Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} (3\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} (\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ ist. Abgeschlossen: $\begin{eqnarray} a,b\in 3\mathbb Z\Rightarrow a=3x,b=3y\Rightarrow a+b=3(x+y)\in 3 \mathbb Z \end{eqnarray}$ 0 ist Nullelement: $\begin{eqnarray} a=3x\Rightarrow a+0=a+3\cdot 0=3x+3\cdot 0=3(x+0)=3x=a \end{eqnarray}$ negatives Element zu $\begin{eqnarray} a=3x\in 3 \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} -a=3(-x)\in 3 \mathbb Z \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} a+(-a)=3x+3(-x)=3(x-x)=3\cdot 0=0 \end{eqnarray}$ Kommutativ: $\begin{eqnarray} a,b\in 3 \mathbb Z\Rightarrow a=3x,b=3y\Rightarrow a+b=3x+3y=3y+3x=b+a \end{eqnarray}$ Assoziativ: $\begin{eqnarray} (a+b)+c=(3x+3y)+3z=3(x+y)+3z=3((x+y)+z)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =3(x+(y+z))=3x+3(y+z)=3x+(3y+3z)=a+(b+c) \end{eqnarray}$ Und jetzt mit k statt 3, fertig.
12.11.2011, 19:49	breezy	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, danke dir. jetzt macht das alles sinn. lg sven
19.11.2012, 22:38	Mathe312	Auf diesen Beitrag antworten »
x und y Abend, würdet Ihr mir bitte das Auftreten von dem plötzlichen x und dem y erklären? Danke, Chris
20.11.2012, 17:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 3\mathbb Z=\{3n\|n\in\mathbb Z\}=\{3x\|x\in\mathbb Z\}=\{3y\|y\in\mathbb Z\} \end{eqnarray}$ Variablennamen sind Schall und Rauch (sagt J.W.von Goethe - siehe hier : http://www.uni-leipzig.de/unigottesdiens...70110-Namen.pdf ).

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