Ungleichung mit Wurzel

11.11.2011, 19:23	shahinoxid	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit Wurzel Hallo Zusammen, ich habe folgende Ungleichung wo ich nicht weiter komme $\begin{eqnarray} \sqrt{1+\sqrt{x}} \geq \frac{3}{2} - \sqrt{1-\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ von den Fallunterscheidungen abgesehen, komme ich beim Auflösen nach x, wenn ich es richtig gemacht habe, bis folgenden Schritt wo ich auf beiden Seiten quadriere: $\begin{eqnarray} \sqrt{1+\sqrt{x}} \geq \frac{3}{2} - \sqrt{1-\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ \| quadrieren $\begin{eqnarray} 1+\sqrt{x} \geq \left(\frac{3}{2} - \sqrt{1-\sqrt{x}}\right)^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1+ \sqrt{x} \geq \frac{9}{4} - 3\sqrt{1- \sqrt{x}} + 1- \sqrt{x} \end{eqnarray}$ Nun weiß ich nicht wie ich $\begin{eqnarray} 3\sqrt{1- \sqrt{x}} \end{eqnarray}$ vereinfachen soll und weiter rechnen soo !!!??? Danke schonmal im Voraus
11.11.2011, 19:48	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit Wurzel bringe doch im ersten schritt besser den ganz rechten term erstmal auf die linke seite, so bekommst du auch kein problem mit deiner nicht-äquivalenten umformung beim quadrieren, da dann beide seiten >0 sind. lg
11.11.2011, 21:44	shahinoxid	Auf diesen Beitrag antworten »
ja tatsächlich ! Ich habe wohl zu kompliziert gedacht ! Danke, ich probiers mal so
11.11.2011, 23:07	shahinoxid	Auf diesen Beitrag antworten »
So habe ich das dann $\begin{eqnarray} \sqrt{1+ \sqrt{x}} \geq \frac{3}{2}- \sqrt{1- \sqrt{x} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{1+ \sqrt{x}} + \sqrt{1- \sqrt{x} }\geq \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\sqrt{1+ \sqrt{x}} + \sqrt{1- \sqrt{x} }\right) ^2 \geq \frac{9}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1+ \sqrt{x} + 2 \sqrt{\left(1+\sqrt{x} \right) \left(1-\sqrt{x} \right)} + 1-\sqrt{x} \geq \frac{9}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2 + 2 \sqrt{1-x} \geq \frac{9}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2\left(1 + \sqrt{1-x}\right) \geq \frac{9}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 + \sqrt{1-x} \geq \frac{9}{8} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{1-x} \geq \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1-x \geq \frac{1}{64} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -x \geq \frac{1}{64} - 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \leq 1- \frac{1}{64} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \leq \frac{63}{64} \end{eqnarray}$
12.11.2011, 19:30	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
jo richtig! achte noch drauf, dass x sowieso nur aus [0, 1] sein darf, also schlussendlich hast du dann x aus [0, 63/64]. lg

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