Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren

07.01.2007, 12:38

toni85

Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren

Es sollen die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a_1},...\vec{a_k} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sein und aus ihnen soll ein Orthonormalsystem $\begin{eqnarray*} \vec{u_1},...\vec{u_k} \end{eqnarray*}$ mit folgendem Algorithmus [...] entstehen.

Dann soll gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} \vec{u_1},...\vec{u_k} \end{eqnarray*}$ wirklich ein Orthonormalsystem ist.

Weiß jemand, was damit gemeint sein soll oder was ich machen muss???

07.01.2007, 12:44

Mazze

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Zitat:

Weiß jemand, was damit gemeint sein soll oder was ich machen muss???

Du sollst das Gram-Schmidt verfahren auf die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a_1},...,\vec{a_k} \end{eqnarray*}$ anwenden, das geht sogar für allgemeine Vektoren, danach zeigst Du das die Vektoren ein Orthonormalsystem sind also das gilt:

$\begin{eqnarray*} <\vec{u_i},\vec{u_j}>=\begin{cases} 0, & \text{wenn } i \neq j \\ 1, & \text{wenn } i = j \end{cases} \text{ für } i,j \in \{1,2,...,k\} \end{eqnarray*}$

(das ist einfaches Nachrechnen).

07.01.2007, 13:08

toni85

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Wie soll ich das denn zeigen können, für allgemeine Vektoren???

07.01.2007, 14:06

Mazze

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Ich zeig es Dir Beispielhaft für $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \end{eqnarray*}$ , als erstes setzen wir:

$\begin{eqnarray*} u_1 = \frac{1}{|a_1|}a_1 \end{eqnarray*}$

Jetzt setzen wir wie bei Gram-Schmidt:

$\begin{eqnarray*} u_2' = a_2 - \frac{<a_2,u_1>}{<u_1,u_1>}u_1 = a_2 - <a_2,u_1>u_1 \end{eqnarray*}$

Jetzt ist zu zeigen das: $\begin{eqnarray*} <u_1,u_2'> = 0 \end{eqnarray*}$ , es ist:

$\begin{eqnarray*} <u_1,u_2'> = <u_1,a_2 - <a_2,u_1>u_1> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = <u_1,a_2> - <u_1,<a_2,u_1>u_1> = <u_1,a_2> - <u_1,u_1><a_2,u_1> = <u_1,a_2> - <u_1,a_2> = 0 \end{eqnarray*}$

Setzte jetzt $\begin{eqnarray*} u_2 = \frac{1}{|u_2'|}u_2' \end{eqnarray*}$ dann ist

$\begin{eqnarray*} \{u_1,u_2\} \end{eqnarray*}$ ein Orthonormalsystem. Ausgenutzt wurde die Linearität und Symmetrie im Skalarprodukt und das $\begin{eqnarray*} <u_1,u_1> = 1 \end{eqnarray*}$ .

Das kann man jetzt allemein für die Bildungsvorschrift machen. Den Schritt
des Normierens machst Du entweder immer bei jedem Vektor oder erst am Ende (gehört an und für sich nicht zu Gram-Schmidt).

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