Norm auf Vektorraum

11.11.2011, 22:49	krolli	Auf diesen Beitrag antworten »
Norm auf Vektorraum Hallo, ich hätte da mal ne Aufgabe, wo ich nicht weiter komme: Zuerst eine Definition (die ihr sicher alle kennt): Zwei Normen $\begin{eqnarray} \left \\| . \right \\|_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left \\| . \right \\|_2 \end{eqnarray}$ auf dem K-Vektorraum $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ heißen äquivalent, wenn es eine Konstante $\begin{eqnarray} c>0 \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{c}\left \\|x\right \\|_1 \leq \left \\|x\right \\|_2\leq c \left \\|x\right \\|_1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ gilt. Nun die Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ein völlständiger Vektorraum bezüglich der beiden Normen $\begin{eqnarray} \left \\| . \right \\|_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left \\| . \right \\|_2 \end{eqnarray}$ . Gilt $\begin{eqnarray} \left \\|x\right \\|_1 \leq c \left \\|x\right \\|_2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ , so folgt, dass die beiden Normen äquivalent sind, d.h. es gilt auch $\begin{eqnarray} \left \\|x\right \\|_2 \leq c \left \\|x\right \\|_1 \end{eqnarray}$ . Hat jemand nen Tipp für mich wie man das beweist? Und warum muss man die Vollständigkeit fordern? Ciao, krolli
13.11.2011, 10:44	krolli	Auf diesen Beitrag antworten »
PUSH Hallo, das Problem ist noch offen. Ich bin daher noch an einem Lösungsansatz interessiert. Gruß, krolli

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