Beweis Lösbarkeit von Gleichungssystemen

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Lea Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Lösbarkeit von Gleichungssystemen
Hallo,
ich hätte eine Frage:
Ich will folgenden Beweis führen:
Für und ist das Gleichungssystem Ax=b genau dann lösbar, wenn für jedes mit auch gilt.
Ich weiß nicht so richtig wie ich an diesen Beweis rangehen kann. Könnte mir da jemand einen Tipp geben? Wäre echt super.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Es sind hier 2 Richtungen gefordert.

=>
Sei eine Lösung von . Ferner sei ein gegeben mit . Warum muss dann gelten ?

<=
Nun gelte für jedes mit auch . Warum hat dann mindestens eine Lösung?
 
 
Lea Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort.
zu =>
Sei eine Lösung von . Ferner sei ein gegeben mit :
Dann gilt doch:

Gilt diese Richtung hiermit schon?

zu <=
Nun gelte für jedes mit auch .:
Hiermit habe ich so meine Probleme. Ich weiß irgendwie nicht so recht wie ich da dran gehen soll.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die eine Richtung passt.

Nun versuche die andere Richtung mit Kontraposition. Wenn es kein x gibt, dass Ax=b löst, dann sind die Spalten von A und b was? Passt was mit der Annahme über y zusammen?
Lea Auf diesen Beitrag antworten »

Hat das was damit zu tun, dass wenn Ax=b mit einem x lösbar ist, äquivalent zu rg(A)=rg(A|b).
Wenn es nun kein x gibt, für das gilt Ax=b ist lösbar gilt dann auch .
Aber irgendwie bekomme ich das jetzt nicht mit dem y zusammen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das wollte ich erst mal ansprechen. Wenn es also kein solches x gibt, was gilt dann für die Ränge und die entsprechenden Spalten-Vektoren sind was?

y steht in Bezug zu den Zeilenvektoren der transponierten Matrix, also auch den Spaltenvektoren von A.
Lea Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es kein x gibt gilt oder? Aber was kann ich jetzt damit über die Spaltenvektoren aussagen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Kontraposition heißt: aus nicht(A) folgt nicht(B).

nicht(A): Es gibt kein x mit Ax=b.

Was ist denn die Aussage von nicht(B)?
Lea Auf diesen Beitrag antworten »

Bin jetzt ein bisschen verwirrt. Aber dann müsste es so heißen oder?:
Es gibt kein y für das mit auch gilt?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Für jedes mit auch gilt.


Es gibt mind. ein mit und
Lea Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal zusammengefasst:
Ich nehme die Kontraposition: Es gibt kein x das Ax=b löst. Deswegen gibt es mind. ein mit und .
Ich weiß auch, dass aus: Es gibt kein x, dass Ax=b löst folgt
Müsste ich das jetzt irgendwie alles zu einem Widerspruch bringen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das sollst du ja zeigen.

Ax=b hab keine Lösung <=> die Spalten von A und b sind linear unabhängig.

Kann man nun ein spezielles y konstruieren, so dass und ?
Lea Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie müsste man ja so ein y konstruieren können. Leider stehe ich nur gerade auf dem Schlauch wie ich das machen könnte.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte nun aber nicht noch mehr zu der Aufgabe sagen. Augenzwinkern
Lea Auf diesen Beitrag antworten »

Ich probiers mal. Ist aber glaub ich eher unmathematisch ausgedrückt. Da die Spalten von A und b linear unabhängig sind existier ein alpha und ein beta, sodass die Spalten von A multipliziert mit alpha addiert mit b multipliziert mit beta gleich 0 ergibt für alpha und beta gleich 0.
Diese Aussage müsste mir doch jetzt helfen auf das y zu kommen, dass es ja geben muss, da ich sonst einen Widerspruch hätte oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, dass klingt eher als arbeitest du mit der Definition von lu rum. Die Überlegung geht aber eher in Richtung "orthogonal". Dabei sollte man auch untersuchen, ob y der Nullvektor sein darf, oder man sicherstellen kann, dass es ein y ungleich dem Nullvektor gibt.
Lea Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid, dass ich mich jetzt erst wieder melde. War die Woche viel unterwegs. Aber habe jetzt auch was:
Setze Für jedes mit gelte auch
Nach a) ist U sogar Unterraum von W

Außerdem folgt:

also

Da rg(A) die Anzahl der linear unabhängigen Spalten von A angibt, gilt aber auch
ist lösbar.
Kann das so passen?
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