Zusammenhang algebraische Zahlen und rationale Zahlen

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satome Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang algebraische Zahlen und rationale Zahlen
Hallo, ich hab folgende Frage:

Ich hab eine algebraische Zahl und eine rationale Zahl , beide ungleich Null.

Nun muss ich zeigen, in welcher Beziehung Grad, Haus und Norm von bzw stehen.

Mein erster Ansatz war für das Haus:



Weil ich mir dachte, dass für maximal ist.

Bei den andern Aufgabenteilen habe ich leider überhaupt keine Idee. Desweiteren ist auch überhaupt nicht klar ob mein Ansatz richtig ist.
Hilfe wäre dabei sehr nett smile danke.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Verrätst Du noch was das Haus einer algebraischen Zahl ist? Ich hab davon noch nie was gehört.
Es ist hier aber eine gute Idee sich das Minimalpolynom von anzuschauen.
satome Auf diesen Beitrag antworten »

ah leider funktioniert der Befehle overbrackets hier im latex code nicht ganz.

das Haus einer Zahl ist: also das betragliche Maximimum der konjungierten von
satome Auf diesen Beitrag antworten »

mhh beim Miniamlpolynom von komme ich zu folgendem Polynom:


offenbar wird im Gegensatz zum Minimal Polynom von immer noch mit einer rationalen Zahl multipliziert. Die Polynome unterscheiden sich also nur duch einen vom Exponenten abhängigen Faktor. Also müssen beide die selben Nullstellen haben oder?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

O.K. kenn ich wirklich nicht. Dann brauchst du ja nur die Galois-konjugierten von .
Hier

steht damit für das Bild unter dem i-ten Element der Galoisgruppe zum Min.pol von . Bedenke das hier fix gelassen wird.

Edit:
Zitat:
was ist hier die Variable?
satome Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Sollte natürlich so aussehen. ist dann die Variable. Also .
 
 
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Und in welchem Zusammenhang steht dass zum minimalpolynom von ?
satome Auf diesen Beitrag antworten »

naja, dass frag ich mich ja auch. MIr ist leider das ganze Thema nciht ganz klar.
Meiner Ansicht nach sind die Polynome identisch für wobei die Koeffizienten des Minimal Polynoms von sind.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Das klingt doch vielversprechend. versuchs zu beweisen (geht am besten wenn Du Dir die galois-konjugierten von anschaust.)
satome Auf diesen Beitrag antworten »

So hab nun eine Lösung:

Die Norm ergibt sich aus:

für das Haus gilt:


und für den Grad:


und das Minimalpolynom entspricht folgender Form:



Bin ziemlich sicher, dass das so stimmt. smile

ty
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Sehe ich auch so.
Wir haben aber nachwievor ziemlich verschiedene Ansichten was ein Polynom ist.
In meinen kommt eine Variable wie X oder T vor.
Zitat:

ist für mich eine algebraische Zahl, in dem Fall ja sogar eine rationale.
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