Randdichte/Randverteilung bivariater stetiger Verteilung

12.11.2011, 11:18

Necross

Randdichte/Randverteilung bivariater stetiger Verteilung

Meine Frage:
Gegeben ist:
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^2/64 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq x \leq 4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y\leq x \leq 2x \end{eqnarray*}$ , 0 sonst
Dazu soll man die Rand(Marginal-)dichten und Rand(Marginal-)verteilungen zu x und y angeben.

Meine Ideen:
Das Problem hier für mich ergibt sich durch die variablen Grenzen von y, weil ich nicht genau weiß wie ich die behandeln muss.

So weit komme ich:
Randdichte x: $\begin{eqnarray*} f_{x}(x)=\int_x^{2x} \! x^2/64 \, dy = x^3/64 \end{eqnarray*}$
Randdichte y: $\begin{eqnarray*} f_{y}(y)=\int_0^{4} \! x^2/64 \, dx = 1/3 \end{eqnarray*}$
Ich denke aber, dass die Randdichte von y nicht stimmen kann, weil sie mir Integriert von x bis 2x nur für x=3 den Wert 1 liefert. Keine Ahnung ob ich damit richtig liege, jedenfalls können dann auch meine Verteilungen nicht stimmen.

Mit freundlichen Grüßen

12.11.2011, 11:46

Necross

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RE: Randdichte/Randverteilung bivariater stetiger Verteilung
In der Angabe hab ich hinten das y mit dem x vertauscht, es sollte heißen x<=y<=2x

Mit ist auch überhaupt nicht klar, wie ich die Grenzen fürs Integral setzen muss, wenn ich mir F(a,b) berechnen will.

14.11.2011, 10:47

René Gruber

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Schreiben wir die Dichte zunächst nochmal ordentlich auf

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2}{64} & \;\mbox{für}\,0\leq x \leq 4 \;\wedge x\leq y \leq 2x \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Necross
Randdichte x: $\begin{eqnarray*} f_{x}(x)=\int_x^{2x} \! x^2/64 \, dy = x^3/64 \end{eqnarray*}$

Stimmt soweit.

Zitat:

Original von Necross
Randdichte y: $\begin{eqnarray*} f_{y}(y)=\int_0^{4} \! x^2/64 \, dx = 1/3 \end{eqnarray*}$

Nein, falsch berechnet - aber immerhin von dir dank Kontrollüberlegung als falsch erkannt (was viele leider nicht schaffen).

Zunächst mal ist festzustellen, dass es nur um $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Werte mit $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 8 \end{eqnarray*}$ geht, für alle anderen Werte ist die obige Dichte gleich Null. Die Bedingung $\begin{eqnarray*} x\leq y \end{eqnarray*}$ bleibt, während $\begin{eqnarray*} y\leq 2x \end{eqnarray*}$ umgestellt $\begin{eqnarray*} \frac{y}{2}\leq x \end{eqnarray*}$ bedeutet, d.h. die richtige Randdichtenberechnung lautet

$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \int\limits_{\frac{y}{2}}^{\min(y,4)} \frac{x^2}{64} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 8 \end{eqnarray*}$ .

Das ist nun getrennt für die Fälle $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 4 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 4<y\leq 8 \end{eqnarray*}$ zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \begin{cases} \frac{7}{1536}y^3 & \;\mbox{für}\,0\leq y \leq 4 \\[2ex] \frac{1}{3}-\frac{1}{1536}y^3 & \;\mbox{für}\,4< y \leq 8 \\[2ex] 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

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