Bestimmen von komplexen Mengen

12.11.2011, 13:46

stealth_mx

Bestimmen von komplexen Mengen

Hallo, ich habe Probleme mit Mengen im komplexen Raum:

Gesucht ist folgende Menge:

$\begin{eqnarray*} \{z \in C | Re(z+5-6i) \leq 10\} \end{eqnarray*}$

Hier ist ja eine Menge gesucht bei der der reelle Teil < 10 sein soll. Aber ich weiß nicht wie man das in Re(z+5-6i) behandeln soll.
Ich würde ja so argumentieren, dass Z = a+bi somit Re(a+5+(b-6)i)
Kann mir jemand einen Tipp geben?

12.11.2011, 13:57

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Bestimmen von komplexen Mengen
Hallo,

Zitat:

Original von stealth_mx
Z = a+bi somit Re(a+5+(b-6)i)

das ist doch schon mal gut! Was ist denn der Realteil davon?

12.11.2011, 14:04

stealth_mx

Auf diesen Beitrag antworten »

Ehm a+5 sollte der Realteil sein. Damit ergibt sich a+5 <=10 bzw a<=5. Ist das alles? Als Menge müsste man es dann so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \{(a+5)+(b-6)i | a \leq 5, a,b \in IR \} \end{eqnarray*}$ ??

12.11.2011, 14:12

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von stealth_mx
Ehm a+5 sollte der Realteil sein. Damit ergibt sich a+5 <=10 bzw a<=5.

Genau. Dann schreib das doch auch so ein eine Menge. Eine komplexe Zahl, deren Realteil kleiner als 5 ist. Du hast die komplexen Zahlen aufgeschrieben, die einen Realteil kleiner als 10 haben. Bei dir darf ich a = 5 und sagen wir mal b = 0 wählen. Macht also z = 10 - 6i. Das liegt aber nicht in der Menge der Aufgabenstellung.

12.11.2011, 14:30

stealth_mx

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe jetzt nicht wo der Fehler ist, oben ist ja der Realteil <= 10 gesucht. Und in meiner Menge ist a+5 sprich es können alle Werte <= 5 für a eingesetzt werden und der Realteil bleibt immer unter bzw bei 10. Dein Beispiel hat es deutlich gemacht!

12.11.2011, 15:16

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Bestimmen von komplexen Mengen
Wie gesagt, ich setzte bei dir in der Menge eben a=5 und b=0. Das ergibt die komplexe Zahl z = 5+5 + (0-6)i = 10 - 6i. Und du sagst jetzt, dass dieses z in

Zitat:

Original von stealth_mx
$\begin{eqnarray*} \{z \in C | Re(z+5-6i) \leq 10\} \end{eqnarray*}$

liegt? Eher nicht, denn Re(z+5-6i) = Re(10-6i+5-6i) = Re(15 - 12i) = 15. Also nicht kleiner als 10.

Du hast das alles richtig gemacht: z = a+bi gesetzt und bekommst heraus, dass a <= 5 sein muss. Dann schreib einfach nur das auf. Alle Zahlen z = a+bi, deren Realteil <= 5 sind.

Edit: Und noch mal hierzu:

Zitat:

Original von Cel
Du hast die komplexen Zahlen aufgeschrieben, die einen Realteil kleiner als 10 haben.

Du bekommst alle Zahlen heraus, deren Re <= 10 ist. In der Ursprungsmenge wird aber noch mal 5 dazugepackt, so dass eine Zahl aus deiner Menge über die 10 rutscht.

12.11.2011, 15:27

stealth_mx

Auf diesen Beitrag antworten »

Achja! ich habe mich bei meiner Menge lediglich auf z beschränkt nicht jedoch auf die eigentlich gesuchte Menge. Richtig Danke

So müsste es aber dann stimmen:

$\begin{eqnarray*} \{z = a+bi | a\leq 5, a,b \in IR \} \end{eqnarray*}$

12.11.2011, 15:27

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Jawooohl!

13.11.2011, 18:42

stealth_mx

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, hab hier noch kleines Problem beim ähnlichen Aufgabentyp.

Ich suche wieder die Menge:
$\begin{eqnarray*} \{z \in C | 3< |z-2-i| \leq 5\} \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:
Gesucht ist ja die Menge der komplexen Zahlen, deren Radius größer 3 und kleiner gleich 5 sein soll.
Es muss demnach ein Ring sein.
Der Betrag bildet sich ja bekanntlich aus: $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2}=r \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun mein z auflöse so komm ich auf:
$\begin{eqnarray*} 3< |(a-2)+(b-1)i| \leq 5\ \end{eqnarray*}$

somit komm ich insgesamt auf:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(a-2)^2+(b-1)^2}>3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(a-2)^2+(b-1)^2} \leq 5 \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich nicht genau wie ich vorgehen muss. Ich denke a muss abhängig von b sein!
Bin über jeden Tipp dankbar =)

14.11.2011, 18:33

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

So, worum geht es eigentlich? Sollst du die Mengen skizzieren? Oder konkret angeben? Falls letzteres der Fall ist, kennst du Polarkoordinaten?

Zitat:

Original von stealth_mx
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(a-2)^2+(b-1)^2}>3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(a-2)^2+(b-1)^2} \leq 5 \end{eqnarray*}$

Sieht doch gut aus. Quadriere doch mal auf beiden Seiten und denke an die Schule (hoffentlich hattet ihr das da). Vierecke sind das nicht, sondern ... Idee!

14.11.2011, 18:56

stealth_mx

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, danke für die Antwort, ja ich kenne die Polarkoordinaten. Allerdings geht es hier um die Menge als schreibvariante. Es muss sich um einen Ring handeln. Also wenn man das in der Gauß'schen Zahleneben betrachtet.

Ich bekomme für a:
$\begin{eqnarray*} a>\sqrt{9-(b-1)^2}+2 \end{eqnarray*}$

Mir ist es auch bewusst, dass es sich um Abhängigkeit handeln muss wenn die Ausgangsfunktion betrachtet: $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$

Ich muss jetzt ja noch beschränken, kann ich es einfach sagen:

$\begin{eqnarray*} a >\sqrt{3^2-(b-1)^2}+2 \end{eqnarray*}$ für a > 3
$\begin{eqnarray*} a \leq \sqrt{5^2-(b-1)^2}+2 \end{eqnarray*}$ für a <= 5

14.11.2011, 19:04

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Nee, nicht umformen. Deswegen hatte ich auf die Schule gehofft.

$\begin{eqnarray*} (a-2)^2 + (b-1)^2 = 9 \end{eqnarray*}$ , das ist eine Kreisgleichung. Durch Einsetzen eines Punktes kannst du dann herausfinden, ob jetzt dass Innenliegende des Kreises oder das außerhalb die gesuchte Menge beschreibt. Dann das gleiche noch mal mit dem anderen Kreis machen.

14.11.2011, 19:18

stealth_mx

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach stimmt, ja Kreisgleichungen hatten wir!

$\begin{eqnarray*} (a-2)^2+(b-1)^2 > 3^2 \end{eqnarray*}$ Hier gilt ja das Außenliegende ohne die ,,Grenze"
$\begin{eqnarray*} (a-2)^2+(b-1)^2 \leq 5^2 \end{eqnarray*}$ Hier gilt das Innenliegende mit der ,,Grenze"

$\begin{eqnarray*} ((a-2)^2+(b-1)^2 > 3^2) \cap ((a-2)^2+(b-1)^2 \leq 5^2) \end{eqnarray*}$
Das Ergebnis ist dann der Ring

14.11.2011, 19:41

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es! Freude

14.11.2011, 21:19

stealth_mx

Auf diesen Beitrag antworten »

Besten Dank!

Neue Frage »

Antworten »

Bestimmen von komplexen Mengen

Verwandte Themen