ganz allgemeine Fragen um einen Text zu verstehen...

12.11.2011, 15:47

Heinzelmann3

ganz allgemeine Fragen um einen Text zu verstehen...

Hallo,
ich muss einen Text lesen und habe immer mal ein paar Lücken beim Verstehen. Ich hoffe, ihr könnt mir da ein wenig auf die Sprünge helfen, auch ohne den Text zu kennen.

1. Was bedeutet der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \bigtriangledown^2f(x) \end{eqnarray*}$ ? Den Gradienten kenn ich, aber was ist das? Es muss sich um eine Matrix handeln und heißt dann: "Für den Fall, dass $\begin{eqnarray*} H = \bigtriangledown^2f(x) \end{eqnarray*}$ ...", wobei H die Hessematrix ist..?
2. Ich brauch nochmal Nachhilfe in Sachen Inverse und Eigenwerte: Wir haben definiert $\begin{eqnarray*} f(x)=-(A+xI)^{-1} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb{R}^{n \times n} \end{eqnarray*}$ symm., I-Einheitsmatrix. Die soll wohl definiert sein für $\begin{eqnarray*} x > x_0=max\{0,-\lambda_1\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq ... \leq \lambda_n \end{eqnarray*}$ die Eigenwerte von A sind.
Wieso muss das gelten? Damit A invertierbar ist? Oder hat es was mit der Definitheit zu tun, oder beides? Ich brauch keine große Lin.Algebra-Stunde, aber es wäre nett, wenn ihr mir dazu kurz 2 Sätze schreiben könntet!

Ich hab noch mehr Fragen, muss jetzt aber erstmal los!
Schonmal vielen Dank für eure Unterstützung!

Gruß HM3

12.11.2011, 20:24

Heinzelmann3

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RE: ganz allgemeine Fragen um einen Text zu verstehen...
Oh, noch niemand geantwortet... unglücklich

naja, jetzt gehts weiter.

Jetzt muss ich doch mal etwas weiter ausholen. Es geht um den Abschnitt eines Beweises. Wir brauchen wieder diese Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=-(A+xI)^{-1}g \end{eqnarray*}$ (das g hab ich vorhin weggelassen, ist ein n-dim. Vektor, der gegeben ist), $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist wie oben für $\begin{eqnarray*} x \in [x_0,\infty) \end{eqnarray*}$ definiert.
Wir betrachten den Fall $\begin{eqnarray*} lim_{x \to x_0} ||f(x)|| \leq Z \end{eqnarray*}$ (Z vorgegeben).

So: Jetzt steht da, dass in diesem Fall gilt, "dass g orthogonal ist zu dem nichttrivialen Raum $\begin{eqnarray*} \mathcal{S}_0 \end{eqnarray*}$ der Eigenvektoren bezüglich $\begin{eqnarray*} -x_0 \end{eqnarray*}$ (andernfalls wäre der Limes unendlich)."
Den Satz versteh ich nicht. Was hat das mit dem g zutun? Und was soll das sein, dieses $\begin{eqnarray*} \mathcal{S}_0 \end{eqnarray*}$ ? Könnt ihr mir da helfen? Oder sonst irgendein Feedback geben. Ich kann auch nochmal etwas mehr Zusammenhang aufschreiben, wollte es aber erstmal so probieren.

Danke und schönen Sonntag euch!

13.11.2011, 02:32

trashing88

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RE: ganz allgemeine Fragen um einen Text zu verstehen...

Zitat:

Original von Heinzelmann3
1. Was bedeutet der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \bigtriangledown^2f(x) \end{eqnarray*}$ ? Den Gradienten kenn ich, aber was ist das? Es muss sich um eine Matrix handeln und heißt dann: "Für den Fall, dass $\begin{eqnarray*} H = \bigtriangledown^2f(x) \end{eqnarray*}$ ...", wobei H die Hessematrix ist..?

$\begin{eqnarray*} \nabla^{2}f(x) \end{eqnarray*}$ ist eine Matrix. In ihr stehen die zweiten partiellen Ableitungen deiner Funktion. Wenn du z.B. eine Funktion zweier Variablen hast, dann steht:

$\begin{eqnarray*} a_{11}=f_{xx}, a_{12}=f_xy,a_{21}=f_{yx}, a_{22}=f_{yy} \end{eqnarray*}$

in der Matrix. Für höhere Dimension dementsprechende mehr.

Die Matrix ist vor allem wichtig um die hinreichende Bedingung für lokale Extrema zu untersuchen.

13.11.2011, 02:49

trashing88

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RE: ganz allgemeine Fragen um einen Text zu verstehen...

Zitat:

Original von Heinzelmann3
2. Ich brauch nochmal Nachhilfe in Sachen Inverse und Eigenwerte: Wir haben definiert $\begin{eqnarray*} f(x)=-(A+xI)^{-1} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb{R}^{n \times n} \end{eqnarray*}$ symm., I-Einheitsmatrix. Die soll wohl definiert sein für $\begin{eqnarray*} x > x_0=max\{0,-\lambda_1\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq ... \leq \lambda_n \end{eqnarray*}$ die Eigenwerte von A sind.
Wieso muss das gelten? Damit A invertierbar ist? Oder hat es was mit der Definitheit zu tun, oder beides? Ich brauch keine große Lin.Algebra-Stunde, aber es wäre nett, wenn ihr mir dazu kurz 2 Sätze schreiben könntet!
Gruß HM3

Du musst noch mal überlegen wie die Eigenwerte einer Matrix definiert waren:

Die Eigenwerte einer Matrix A waren gerade die Werte $\begin{eqnarray*} \lambda_{i} \end{eqnarray*}$ für die:
$\begin{eqnarray*} Ax=\lambda_{i}{\cdot}x \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} (A-\lambda_{i}I)x=0 \end{eqnarray*}$

So ein Lambda kann es nur geben wenn $\begin{eqnarray*} A-\lambda_{i}I \end{eqnarray*}$ eine nicht reguläre Matrix ist. Also:
$\begin{eqnarray*} \det{A-\lambda_{i}I}=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt übernimmt ja in deiner Definition das x die Rolle der $\begin{eqnarray*} \lambda_{i} \end{eqnarray*}$ . Jetzt entspricht ja deine Funktion nicht genau der Definition eines Eigenwertes, aber ziemlich. Das musst du dir mal selbst überlegen, es dreht sich irgendwo in der Definition des Eigenwertes ein Vorzeichen um und damit ist deine Funktion nur sinnvoll definiert wenn du es größer wählst als oben angegeben.

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