Ungleichung beweisen

12.11.2011, 16:36

dddtg

Ungleichung beweisen

Folgenede Ungleichung ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n + (1-x)^n \geq 2+n (n-1) n^2 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich sie soweit aufgelöst mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes:

$\begin{eqnarray*} 2[\binom n 2 x^2 + \binom n 4 x^4 + \binom n 6 x^6 + ... ] \geq n(n-1)x^2 \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich aber nicht mehr weiter. Ist die Ungleichung damit schon bewiesen? Kann man die linke Seite vereinfachen, dass man direkt sieht das sie größergleich rechts ist?

12.11.2011, 16:51

Ungewiss

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Schau Dir den 1. Summanden mal genau an.

12.11.2011, 16:58

dddtg

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Aus der bestehenden Ungleichung oder aus meiner Umformung?

Was ich vllt noch vergessen habe: $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

12.11.2011, 16:59

Ungewiss

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Aus der 4. Zeile.

12.11.2011, 17:08

dddtg

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Weiß nicht was du meinst:

$\begin{eqnarray*} \binom n 2 x^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} \cdot x^2 \end{eqnarray*}$

Macht dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{2(n-2)!} \cdot x^2 + ... \geq n(n-1)x^2 \end{eqnarray*}$

Gut kürzt sich das x^2 raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{2(n-2)!}+... \geq n(n-1) \end{eqnarray*}$

12.11.2011, 17:12

dddtg

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Naja, wenn man sich jetzt überlegt, dass n! verdammt groß wird und diese große zahl dann durch 2(n-2)! teilt, bleibt wahrscheinlich immernoch eine riesen Zahl übring und die ist in jedem fall größer als n(n-1)

12.11.2011, 17:20

Ungewiss

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Was ist $\begin{eqnarray*} 2\cdot\binom{n}{2} \end{eqnarray*}$ und was kannst du über die folgenden Summanden aussagen?

12.11.2011, 17:28

dddtg

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$\begin{eqnarray*} 2\cdot\binom{n}{2} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-2)!} \end{eqnarray*}$ also eine positive rationale zahl ?! Wenn man die Zahl mit weniger als sich selbst teilt also n geteilt durch n-2 muss ja eine größere Zahl raus kommen.

Weiß echt nicht was du meinst oder wie ich das vereinfachen kann

12.11.2011, 17:33

Ungewiss

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Bei dem brUch mit den fakultäten kannst du (n-2)! kürzen

12.11.2011, 17:45

dddtg

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$\begin{eqnarray*} (n - 2)! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot n \end{eqnarray*}$

So sollte das ja aussehen oder?

Also lässt es sich auf $\begin{eqnarray*} (n-1)(n-2) \end{eqnarray*}$ kürzen, da im zähler ja n! steht??

12.11.2011, 17:50

Ungewiss

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Du schreibst( n-2)! falsch aus, beachte n!=n(n-1)(n-2)! Falls n=1 ist die ungleich sowieso richtig.

12.11.2011, 17:58

dddtg

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Und wie schreibt man es richtig, hab keine Idee mehr? und wie kommst du jetzt auf n!=n(n-1)(n-2)!?

12.11.2011, 18:01

Ungewiss

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Es ist n!/(n-2)! = n(n-1), also steht auf der linken Seite das was auf der rechten steht+ nichtnegativer kram.

12.11.2011, 18:11

dddtg

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Also hast du die gesamte Ungleichung betrachtet, verstehe:

$\begin{eqnarray*} n! \geq n(n-1)(n-2)! \end{eqnarray*}$ , okay soweit bin ich. Wenn ich jetzt zahlen einsetze kommt rechts auch immer weniger raus als links, also stimmt das schon mal so weit.

Allerdings weiß ich jetzt immer noch nicht, wie ich (n-2)! auflöse und warum steht auf beiden seiten das selbe? bei dem einen steht n! und bei dem andern nur n?!

12.11.2011, 18:13

NurMalKurz

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Die Gültigkeit dieser Ungleichung zu beweisen wäre sehr komisch, da sie nicht ( zumindestens nicht für alle x und für alle n ) gilt. Gibt es nicht noch irgendwelche Einschränkungen bezüglich n oder x bzw. ist vielleicht noch die Frage, ab welchem n oder ab welchem x diese Ugleichung gilt?

12.11.2011, 18:16

dddtg

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$\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Hab ich im Post Nr. 3 angefügt

12.11.2011, 18:19

Ungewiss

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Was fÜr eine Einschränkung ist denn nötig, ausser n€ IN?

Ich weiss nicht wie ich dir noch helfen soll, wir sind so weit, dass deine zu zeigende Ungleichung äquivalent ist zu einer Ungleichung die offensichtlich wahr ist. Wenn man auf eine Zahl endlich viele nichtnegative Zahlen addiert, wird sie größer oder bleibt gleich.

12.11.2011, 18:25

dddtg

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genau, sie kann größer werden wie du selbst sagst, vllt auch größer als die n! ? Durch ausprobieren wissen wir zwar, dass es nicht so ist, aber wie kann ich das jetzt noch belegen?!

14.11.2011, 20:51

dddtg

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Kann mir vielleicht noch jemand helfen? Ich versteh noch nicht ganz wie Ungewiss zu seinen Annahmen kommt, dass die Ungleichung so schon gelöst ist.

14.11.2011, 21:18

Calahan

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RE: Ungleichung beweisen
Ich hab Deinen Eingangsbeitrag mal überarbeitet. Dann sollte es eigentlich klar werden.

Zitat:

Folgenede Ungleichung ist zu zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n + (1-x)^n \geq 2+n (n-1) x^2 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich sie soweit aufgelöst mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes:

$\begin{eqnarray*} 2\left({n\choose 0} x^0+\binom n 2 x^2 + \binom n 4 x^4 + \binom n 6 x^6 +\ldots \right)=2+n(n-1)x^2+\underbrace{2\left(\binom n 4 x^4 + \binom n 6 x^6 +\ldots\right)}_{\geq 0} \geq 2+ n(n-1)x^2 \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich aber nicht mehr weiter.

Wieso weiter?

Zitat:

Ist die Ungleichung damit schon bewiesen?

Ja!

Zitat:

Kann man die linke Seite vereinfachen, dass man direkt sieht das sie größergleich rechts ist?

Ist bereits geschehen.

16.11.2011, 01:00

dddtg

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Hoffe ich hab das jetzt richtig verstanden. Hab die Ungleichung mal so weigter aufgelöst

$\begin{eqnarray*} n! \geq n(n-1)(n-2)! \end{eqnarray*}$

umgestellt:

$\begin{eqnarray*} \frac {n!}{(n-2)!} \geq n(n-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {n!}{(n-2)!} =\frac {n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3)\cdot ... \cdot (n-n)}{(n-2)\cdot (n-3) \cdot (n-4) \cdot ... (n-n)} \end{eqnarray*}$

Was dann quasi ergibt:

$\begin{eqnarray*} n(n-1) \geq n(n-1) \end{eqnarray*}$

Auf der linken Seite fehlt jetzt nur noch die restliche Summe.

$\begin{eqnarray*} n(n-1)+ \underbrace {\sum_{k=3}^{n}a^{n-k}\cdot{b^k} + \sum_{k=3}^{n}a^{n-k}\cdot{(-b)^k}} _{\geq 0} \geq n(n-1) \end{eqnarray*}$

Damit ist die Ungleichung bewiesen.

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