Beweis durch Vollständige Induktion

12.11.2011, 17:16	Tom1001	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis durch Vollständige Induktion Meine Frage: Ich habe folgende Aufgabenstellung: Beweisen sie mittels vollständiger Induktion $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n k^{5} = \frac{1}{12} n^{2} (n+1)^{2} (2n^{2} + 2n - 1) \end{eqnarray}$ Für alle n aus den natürlichen Zahlen Meine Ideen:* Die Induktionsbehauptung wäre meiner Meinung nach in diesem Falle $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^(n+1) k^{5} = \frac{1}{12} (n+1)^{2} ((n+1)+1)^{2} (2(n+1)^{2} + 2(n+1) - 1) \end{eqnarray}$ Und der Induktionsbeweis müsste so beginnen $\begin{eqnarray} \frac{1}{12} n^{2} (n+1)^{2} * (2n^{2} + 2n - 1) + (n+1)^5 \end{eqnarray*}$ Nun habe ich keine Ahnung wie ich weiterverfahren muss, um den gleichen Wert wie in der Ind.behauptung dort stehen zu haben.
12.11.2011, 20:16	Snuze	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1} k^5 = (\sum_{k=1}^n k^5) + (n+1)^5 \underbrace {=}_{IV} \frac{1}{12} \cdot n^2 \cdot (n+1)^2 \cdot (2n^2+2n-1) + (n+1)^5 \end{eqnarray}$ Nun musste du zeigen, dass die rechte Seite mit der rechten Seite in deiner Induktionsbehauptung übereinstimmt.
13.11.2011, 00:31	NurMalKurz	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest natürlich einfach die linke Seite und die rechte Seite komplett ausmultiplizieren.
13.11.2011, 13:06	Tom1001	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bekomms nicht hin -.- wenn ich sowohl die Behauptung als auch den beweis komplett ausmultipliziere bekomme ich verschiedene Terme raus -.-
13.11.2011, 14:29	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Glaubst du, wir könnten hier hellsehen, welchen Fehler du machst?
13.11.2011, 15:52	Tom1001	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es da irgendwie ein trick? durch pures ausmultiplizieren kann man die nicht lösen
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13.11.2011, 17:04	madx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke es wäre sinnvoll, wenn du deinen kompletten Induktionsschritt (der zumindest das, was du bisher gerechnet hast ) hier rein schreibst. Sonst kann dir keiner Sagen was du falsch machst. Denn deine (wie du es nennst) Induktionsbehauptung und "Induktionsbeweis" sind soweit richtig. Ich denke das ist auch das was klarsoweit dir indirekt sagen wollte.
13.11.2011, 21:46	Snuze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich ahne wo du evt. einen Fehler machst, daher folgender Hinweis: $\begin{eqnarray} \frac{1}{12} \cdot n^\cdot(n+1)^\cdot(2n^2+2n-1)+(n+1)^5 = (\frac{1}{12} \cdot n^\cdot(n+1)^\cdot(2n^2+2n-1))+(n+1)^5 \end{eqnarray}$ achte auf die Klammern

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