Konvergenzradius

07.01.2007, 13:51

chris85

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Konvergenzradius

Hallo,
Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich den Konvergenzradius berechnen soll.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~\frac{(1+i)^{n-2}}{\sqrt{n!}} z^n \end{eqnarray*}$

Ich habe versucht es mit dem Quotientenkriterium zu lösen.Hänge jetzt aber.Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid = \mid \frac{\frac{(1+i)^{n-1}}{\sqrt{n+1!}} z^{n+1}}{ \frac{(1+i)^{n-2}}{\sqrt{n!}} z^n} \mid \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \mid \frac{\frac{(1+i)^{n-1}}{\sqrt{n+1!}} }{ \frac{(1+i)^{n-2}}{\sqrt{n!}} } \mid * \mid z \mid \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \mid \frac{(1+i)^{n-1}*\sqrt{n!}}{(1+i)^{n-2}*\sqrt{n+1!}} \mid * \mid z \mid \end{eqnarray*}$

Soweit bin ich jetzt gekommen, aber jetzt hänge ich hier. Kann mir jemand weiterhelfen?
Wäre super!!!!
Danke schon mal

07.01.2007, 13:53

Dual Space

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RE: Konvergenzradius
Das z hat in dieser Abschätzung nichts zu suchen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

PS. Kannst du uns deine Aufgabe auch noch mitteilen?

07.01.2007, 14:16

chris85

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Oh man wie peinlich, hab meinen Beitrag jetzt oben editiert! Aufgabe steht jetzt drin!
Schreib sie jetzt aber sicherheitshalber noch hier hin.

\sum_{k=0}^\infty ~\frac{(1+i)^{n-2}}{\sqrt{n!}} z^n

Kannst du mir jetzt weiterhelfen?

Danke

07.01.2007, 14:26

Dual Space

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RE: Konvergenzradius
Also bis hier hin bist du ja schon gekommen:

$\begin{eqnarray*} \dots= \left| \frac{(1+i)^{n-1}*\sqrt{n!}}{(1+i)^{n-2}*\sqrt{n+1!}} \right| \end{eqnarray*}$

So nun kürze mal was das Zeug hält. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.01.2007, 15:05

chris85

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Also ich hab mal versucht zu kürzen,aber weiß nicht ob ich das so machen kann.

Hab dann jetzt nach dem kürzen rausbekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n!}}{\sqrt{n+1!}} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so? Wenn nicht.wie sieht es dann aus?

07.01.2007, 15:10

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Potenzgesetz anwenden:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{n!}{(n+1)!}} \end{eqnarray*}$

Und bitte, bitte die Klammern nicht vergessen: $\begin{eqnarray*} n+1! \end{eqnarray*}$ ist etwas völlig anderes als $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$

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07.01.2007, 15:12

Dual Space

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von chris85
Hab dann jetzt nach dem kürzen rausbekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n!}}{\sqrt{n+1!}} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Nein ... machs so:

$\begin{eqnarray*} \dots= \left| \frac{(1+i)^{n-1}\sqrt{n!}}{(1+i)^{n-2}\sqrt{(n+1)!}} \right|=\left| \frac{(1+i)\sqrt{n!}}{\sqrt{(n+1)!}} \right|=\left| \frac{(1+i)}{\sqrt{n+1}} \right|=\dots \end{eqnarray*}$

07.01.2007, 15:37

chris85

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Was hast du gemacht dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{n!} \end{eqnarray*}$ weggefallen ist?

Geht es dann so weiter:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{(1+i)}{\sqrt{n+1}}= \frac{(1+i)-1}{\sqrt{n+1}-1}=\frac{i}{\sqrt{n+1}-1} \end{eqnarray*}$

07.01.2007, 15:58

Dual Space

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Zitat:

Original von chris85
Was hast du gemacht dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{n!} \end{eqnarray*}$ weggefallen ist?

$\begin{eqnarray*} \text{Potenzgesetze \& } \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Überleg dir selber, warum, das so ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bzgl. deinem weiteren Vorgehen: Du kannst die Betragsstriche nicht einfach weglassen!

07.01.2007, 17:29

chris85

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Ich komm grad echt nicht drauf wieso das so ist. Kannst du es mir nicht zeigen?

Zu meinem weiteren vorgehen:

Ist es richtig wenn ich die Betragsstriche stehen habe? Hab sie wohl beim aufschreiben vergessen.

Falls nein, wie gehts dann?

07.01.2007, 18:26

Dual Space

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Zitat:

Original von chris85
Ich komm grad echt nicht drauf wieso das so ist. Kannst du es mir nicht zeigen?

Einfach die Fakultät ausschreiben!

$\begin{eqnarray*} n!:=\prod_{k=1}^n k=1\cdot 2\cdots (n-1)\cdot n \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von chris85
Geht es dann so weiter:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{(1+i)}{\sqrt{n+1}}= \frac{(1+i)-1}{\sqrt{n+1}-1}=\frac{i}{\sqrt{n+1}-1} \end{eqnarray*}$

Nein! In dieser Zeile steht einfach nur Quatsch! Du hast die gängigen Rechenregeln für Grenzwerte und Brüche gekonnt ignoriert!

07.01.2007, 18:54

chris85

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Hmm okay du hast leider recht, das ist falsch.

Ich komm jetzt hier nicht mehr wirklich weiter.hab einen richtigen Hänger.
Habs nochmal versucht, könnte das vllt stimmen?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \mid \frac{(1+i)²}{\sqrt{n+1}²} \mid = \mid \frac{1+2i+i²}{n+1} \mid \end{eqnarray*}$

Kannst du mir zeigen wie es hier weiter geht falls das falsch ist?

07.01.2007, 18:59

Dual Space

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RE: Konvergenzradius
Hier waren wir. Mach also hier weiter!

$\begin{eqnarray*} \dots=\left| \frac{(1+i)}{\sqrt{n+1}} \right| \end{eqnarray*}$

Es gilt i.a. $\begin{eqnarray*} a\not= a^2 \end{eqnarray*}$ , also bitte nicht quadrieren.

07.01.2007, 19:11

chris85

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So könnte man es doch noch schreiben: $\begin{eqnarray*} \mid \frac{(1+i)}{\sqrt{n+1}} \mid = \mid \frac{1}{\sqrt{n+1}} \mid * \mid \frac{i}{\sqrt{n+1}} \mid \end{eqnarray*}$ oder?
Was anderes fällt mir jetzt echt nicht mehr ein.
Kannst du mir einen Tipp geben wie es weiter geht?

07.01.2007, 19:18

Dual Space

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Zitat:

Original von chris85
So könnte man es doch noch schreiben: $\begin{eqnarray*} \mid \frac{(1+i)}{\sqrt{n+1}} \mid = \mid \frac{1}{\sqrt{n+1}} \mid * \mid \frac{i}{\sqrt{n+1}} \mid \end{eqnarray*}$ oder?

unglücklich

Um Himmels Willen ...

Wenn schon denn schon bekommst du sowas (Dreiecksungleichung!!!!):

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{(1+i)}{\sqrt{n+1}} \right| \leq \frac{1}{\sqrt{n+1}} + \frac{|i|}{\sqrt{n+1}}=\frac{2}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

07.01.2007, 19:27

chris85

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Naja aber das bringt mich ja jetzt auch nicht weiter.
Ach man ich blicks grad gar nicht mehr,weiß auch nicht was los ist traurig

traurig

07.01.2007, 19:29

Dual Space

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Zitat:

Original von chris85
Naja aber das bringt mich ja jetzt auch nicht weiter.

Ich denke schon, dass dich das weiter bringen wird! Bilde mal den Grenzwert und schau es dir noch mal genau an. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Ach nee ... sorry hast recht. Bringt dir echt nicht viel. verwirrt

verwirrt

Ähm ... für den Konvergenzradius hättest du auch so ansetzen müssen: $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| \end{eqnarray*}$ und dann klappt wieder alles mit unserer Abschätzung! smile

smile

07.01.2007, 19:50

chris85

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Jetzt bin ich komplett verwirrt.
Das Quotientenkriterium lautet doch $\begin{eqnarray*} \mid \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid \end{eqnarray*}$ .

Wieso hätte man dann $\begin{eqnarray*} \mid \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \mid \end{eqnarray*}$ ansetzen müssen?

Kannst du mir mal zeigen wie du das meinst? Ich weiß gerade nicht mal mehr wo oben und unten ist.

07.01.2007, 19:53

Dual Space

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Die Frage war nicht, ob die Reihe konvergiert, sondern welchlen Konvergenzradius sie hat.

LESEN: http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius !

07.01.2007, 20:06

chris85

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Diese Formel kam aber in der Vorlesung noch nicht vor, so habe ich mir gedacht dass ich diese wohl noch nicht zum Lösen anwenden darf.
Deshalb versuche ich es doch mit dem Quotientenkriterium.

Hier war ich ja.

$\begin{eqnarray*} \dots=\left| \frac{(1+i)}{\sqrt{n+1}} \right| \end{eqnarray*}$

Wie kann ich jetzt hier weitermachen sodass ich den Grenzwert abschätzen kann?

07.01.2007, 20:23

Dual Space

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Mit dem Ansatz zur Berechnung des Konvergenzradius aus dem obigen Link haben wir also schon:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{|1+i|}=\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{2}}=\infty \end{eqnarray*}$

Somit gilt für den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r=\infty \end{eqnarray*}$ .

07.01.2007, 21:29

chris85

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Okay so geht es auf jeden Fall! Hab noch eine Frage. Wo ist das z aus der Aufgabenstellung hingekommen? Wie ist das rausgeflogen?

08.01.2007, 08:07

Dual Space

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Weil die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nur die Koeffizienten der Potenzreihe sind.

Zitat:

Original von Dual Space
LESEN: http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius !

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