Inverses Element

12.11.2011, 19:43

Tafelwerk

Inverses Element

Hallo *,
Ich habe hier folgende Aufgabe vor mir liegen: Ich soll zeigen das

$\begin{eqnarray*} (\mathbb Q \times \mathbb Q,\oplus, \otimes) \end{eqnarray*}$ mit:

$\begin{eqnarray*} (a; b) \oplus (c; d) := (a + c; b + d) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a; b) \otimes (c; d) := (ac * 2bd; ad + bc) \end{eqnarray*}$

ein Körper ist.

Der Anfang hat ganz gut geklappt. Doch hakt es beim Beweis das
$\begin{eqnarray*} (\mathbb Q \times \mathbb Q/_{(0,0)},\otimes ) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist.

Als neutrales Element habe ich (1,0).

Und ich schaffe es nicht ein Inverses zu finden.

$\begin{eqnarray*} (a_{1},b_{1}) \otimes (a_{2},b_{2}) = (1,0) \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} a_{1}*b_{1}-2*a_{2}*b_{2} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{1}*b_{2} + a_{2}*b_{1} =0 \end{eqnarray*}$

Ist das bis hier richtig? verwirrt

12.11.2011, 19:52

weisbrot

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RE: Inverses Element
hallo!
deine ursprüngliche definition

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (a; b) \otimes (c; d) := (ac * 2bd; ad + bc) \end{eqnarray*}$

widerspricht irgendwie dem, was du hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_{1}*b_{1}-2*a_{2}*b_{2} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{1}*b_{2} + a_{2}*b_{1} =0 \end{eqnarray*}$

gemacht hast.
schreib die nochmal ordentlich hin.

12.11.2011, 19:53

Pascal95

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Der Ansatz mit dem linearen Gleichungssystem ist gut.

Allerdings scheint dir ein kleiner Fehler unterlaufen zu sein...

$\begin{eqnarray*} (a_{1},b_{1}) \otimes (a_{2},b_{2}) = (1,0) \end{eqnarray*}$

Soweit so gut, du hättest auch $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ einfach wählen können, aber so musst du aufpassen, dass du die Definition befolgst.

Es ist $\begin{eqnarray*} a&=&a_1<br /> b&=&b_1<br /> c&=&a_2<br /> d&=&b_2 \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} (a_{1},b_{1}) \otimes (a_{2},b_{2}) = \text{???} \end{eqnarray*}$

12.11.2011, 21:12

Tafelwerk

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oh vielen Dank!

Erstmal hab ich die Definition hier falsch aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} (a,b) \otimes (c,d) = (ac - 2bd, ad + bc) \end{eqnarray*}$ Hammer

und dann noch das Variablendurcheinander. Dank eurer Hilfe hat es jetzt wunderbar geklappt.

Inverses:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{a}{a^{2}+2*b^2},\frac{-b}{a^2+2b^2} \right) \end{eqnarray*}$

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