Bild einer e-Kugel unter einer Abbildung

12.11.2011, 20:03

Snuze

Bild einer e-Kugel unter einer Abbildung

Hallo zusammen,

Ich habe folgendes Problem, gegeben sind mir der metrische Raum

$\begin{eqnarray*} (\mathbb C,d) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d(x,y):= |x-y| \end{eqnarray*}$

und die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \phi : z \in \mathbb C \backslash \{i\} \rightarrow \frac{-iz+1}{z-i} \in \mathbb C \end{eqnarray*}$

Nun soll ich das Bild der Kugel K(0,1) unter der Abbildung bestimmen, d.h. $\begin{eqnarray*} \phi (K(0,1)) \end{eqnarray*}$

So nun kann ich immerhin schonmal sagen, dass

$\begin{eqnarray*} w \in \phi (K(0,1)) \Leftrightarrow \exists z \in K(0,1): \phi(z) = w \end{eqnarray*}$

und weiter weiß ich

$\begin{eqnarray*} z:= a+bi \in K(0,1) \Leftrightarrow a,b \in (-1,1) \end{eqnarray*}$

Allerdings habe ich keine Ahnung wie ich nun das Bild genauer bestimmen könnte. Hoffe ihr könnt einem armen Trottel weiterhelfen Augenzwinkern

12.11.2011, 20:12

weisbrot

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RE: Bild einer e-Kugel unter einer Abbildung
hallo!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (\mathbb C,d) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d:= |x-y| \end{eqnarray*}$

meinst du
$\begin{eqnarray*} d(x,y) := |x-y| , x,y \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ?

ist $\begin{eqnarray*} K_1(0):=\left\{ x \in \mathbb C | d(x,0)<1\right\} \end{eqnarray*}$ ?

12.11.2011, 20:18

Snuze

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ja für beides

12.11.2011, 20:44

weisbrot

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sry hab keine zeit mehr, vielleicht kann wer anders übernehmen? lg

12.11.2011, 21:11

gonnabphd

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Zitat:

und weiter weiß ich $\begin{eqnarray*} z:= a+bi \in K(0,1) \Leftrightarrow a,b \in (-1,1) \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht so wirklich. z.B. ist für $\begin{eqnarray*} z = a+ib, \; a = b = \sqrt{\frac23} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\frac43} > 1 \end{eqnarray*}$

(zeichne am besten mal die von dir beschriebene Menge auf, was du beschreibst ist nämlich ein offenes Quadrat und keine Scheibe)

Aber das ist ja nicht so wichtig. Zu deiner Aufgabe:

Um eine Idee zu bekommen, was das Bild sein könnte: Frage dich, was der Imaginärteil von

$\begin{eqnarray*} \frac{-iz+1}{z-i} \end{eqnarray*}$

für deine betrachteten $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist.

Um deine Vermutung dann zu beweisen, könntest z.B. einfach mal ein $\begin{eqnarray*} w = c + id \end{eqnarray*}$ aus deinem vermuteten Bild nehmen und das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \frac{-i(a+ib) +1}{(a+ib) - i} = c + id \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} a, b \end{eqnarray*}$ (mit Vergleich von Imaginär- und Realteilen) auflösen, also die Umkehrabbildung berechnen. Damit kannst du nachweisen, dass auch für jedes solche w ein $\begin{eqnarray*} a+ib \in K_1(0) \end{eqnarray*}$ exisitert mit $\begin{eqnarray*} \varphi(z) = w \end{eqnarray*}$ .

Ist halt ein bisschen Arbeit.

(Eleganter könntest du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathrm{SL}_2(\mathbb C) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \cup \{\infty\} \end{eqnarray*}$ vermöge der Abbildung

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta\end{pmatrix}\cdot z := \frac{\alpha z + \beta}{\gamma z + \delta} \end{eqnarray*}$

operiert. Damit wäre dann klar, was die Umkehrabbildung von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ sein muss.)

Je nachdem, wie viel du über Möbiustransformationen weisst, gibt es noch einfachere Versionen.

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