lim n^k/n!

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12.11.2011, 21:48	chi	Auf diesen Beitrag antworten »
lim n^k/n! Meine Frage: Zeige: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{n^{k}}{n!} =0 \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} k\in \mathbb N \end{eqnarray}$ fest. Meine Ideen: Naja man könnte die Grenzwerte von $\begin{eqnarray} n^{k} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{1}{n!} \end{eqnarray}$ multiplizieren, aber ich weiß nicht so ganz, das wäre irgendwo zu einfach um wahr zu sein
12.11.2011, 21:54	chi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lim n^k/n! ich ich wollte darauf hinaus, dass $\begin{eqnarray} 0\cdot \infty =0 \end{eqnarray}$ , aber weiß nicht so genau, ob man das hier so machen darf.
12.11.2011, 22:07	rslz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lim n^k/n! Nene, so funkitoniert das nicht! Nach der Rechnung wäre ja dann auch: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{n}{n} =0 \end{eqnarray}$ was natürlich grober unfug ist. Der Grund, warum dass 0 wird liegt daran, dass die n-te Fakultät irgendwann (bei einem $\begin{eqnarray} <br /> n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ) jede Potenzfunktion überholt (also noch viel größer wird).
12.11.2011, 22:07	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Da es sich um Grenzwerte und nicht um reelle Zahlen handelt, stimmt die Aussage nicht. Einfaches gegenbeispiel: $\begin{eqnarray} f(x)=x\cdot \frac 1x, g(x)= x^2 \cdot \frac 1x, h(x)=x \cdot \frac 1{x^2} \end{eqnarray}$ Es ist $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty}f(x) = 1, \lim_{x \to \infty}g(x) = \infty, \lim_{x \to \infty}f(x) = 0 \end{eqnarray}$ Oder anders ausgedrückt: $\begin{eqnarray} 0\cdot\infty \end{eqnarray}$ kann bei Grenzwerten eigentlich alles ergeben. Du musst schauen welcher Term "schneller" wächst. Im Normalfall nutzt man hierzu geeignete Abschätzungen der Terme, um auf einen Term zu kommen, dessen Konvergenzeigenschaft man kennt oder zumindest einfacher bestimmen kann.
12.11.2011, 22:08	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass diese Rechnung nicht stimmen kann zeigt $\begin{eqnarray} \underbrace{\frac{1}{n}}_{\to 0} \cdot \underbrace{n^2}_{\to \infty} = n \to \infty \end{eqnarray}$ . Und nein, auch " $\begin{eqnarray} 0 \cdot \infty = \infty \end{eqnarray}$ " ist im Allgemeinen falsch. Es ist einfach ein undefinierter Ausdruck. Edit: Woohoo, jetzt gings mal wieder los. air
12.11.2011, 22:16	chi	Auf diesen Beitrag antworten »
lim n^k/n! also muss ich irgendwie zeigen, dass $\begin{eqnarray} n^{k}\leq n! \end{eqnarray}$ für fast alle n.
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12.11.2011, 22:18	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch das genügt nicht, denn $\begin{eqnarray} n < n+1 \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} \frac{n}{n+1} \to 1 \end{eqnarray}$ . Helferlein hat dir aber einen durchaus präziseren Tipp gegeben. Denkbar wäre $\begin{eqnarray} \frac{n^k}{n!} \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ für fast alle n zu zeigen. Von der rechten Seite kennst du den Grenzwert nämlich. Mein eben genanntes Beispiel dafür, dass deine Idee nicht genügt, könnte dafür übrigens nützlich sein. air
12.11.2011, 22:26	rslz	Auf diesen Beitrag antworten »
oder du gibts für jedes $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ an, sodass $\begin{eqnarray} n! \geq n^{k+1} \forall n \geq n_0 \end{eqnarray}$ .
12.11.2011, 22:27	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit: Sorry, ich habe das "k+1" als "k" gelesen. So geht das auch, ist aber letztlich das selbe, was ich gesagt hatte ... air
12.11.2011, 22:30	rslz	Auf diesen Beitrag antworten »
wo is das Problem air? ich kann dann doch mit n^k kürzen PS: ich bin nicht der Aufgabensteller edit: hat sich erledigt...
12.11.2011, 22:31	chi	Auf diesen Beitrag antworten »
lim n^k/n! gib für jedes $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ an, sodass $\begin{eqnarray} \frac{n^k}{n!} \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ . So etwa?
12.11.2011, 22:31	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte mich verschaut und das "+1" im Exponenten übersehen. Deins ist also $\begin{eqnarray} n! \geq n^{k+1} = n \cdot n^k ~\Leftrightarrow~ \frac{n^k}{n!} \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ und damit eigentlich das selbe, was ich gesagt hatte. air
12.11.2011, 22:32	rslz	Auf diesen Beitrag antworten »
jaja, so ist das eben, wenn während man den Post schreibt in den 2 Minuten 5 neue Nachrichten reinkommen...
12.11.2011, 22:33	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es geht grad ein wenig chaotisch zu. Im Sinne des Boardprinzips ("viele Köche verderben den Brei") ziehe ich mich mal zurück und überlasse dir den Thread. Muss sowieso weg. air
13.11.2011, 10:40	Dinse	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe noch nicht ganz, wie ich mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \geq \frac{n^{k} }{n!} \end{eqnarray}$ beweisen soll, dass der Grenzwert gegen 0 konvergiert??
13.11.2011, 12:16	chi	Auf diesen Beitrag antworten »
lim n^k/n! weil 1/n gegen 0 konvergiert für n-->unendl. 1/n ist größer, als die andere Folge, Somit konvergiert das andere auch gegen 0

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