Reihen und Konvergenz - Wie lernt man abschätzen? |
| 12.11.2011, 22:20 | fachfremd | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Reihen und Konvergenz - Wie lernt man abschätzen? Wir müssen uns seit einiger Zeit mit Reihen und allem, was dazu gehört, beschäftigen. Um was es dabei vom Prinzip geht, habe ich verstanden (Konvergenz, Divergenz, Majoranten, Minoranten, etc.). Mit Hilfe von z.B. Excel kann ich auch versuchsweise ein paar Werte in Reihen einsetzen und schauen, wie diese verlaufen. Nur hilft mir Excel spätestens in der Klausur ja nicht weiter... Die Beurteilung, ob eine Reihe konvergiert oder divergiert, muss also mit den üblichen Methoden der Mathematik erfolgen. Nun kann ich per Hand versuchen, eine Reihe einzuschätzen und mir eine entsprechende, ungefähr passende Majorante oder Minorante suchen. Das bringt einen tatsächlich aber nicht immer weiter. Also muss man wohl mit der gegebenen Reihe selbst hantieren, und zwar durch "abschätzen" weiterkommen. Genau DAS ist aber mein Problem: Schau ich mir Musterlösungen an, so werden dort bei den Reihen einzelne Elemente verändert - hier eine ganze Zahl weggelassen, dort ein Quadrat angehängt - immer alles ohne erkennbares Prinzip. Dieses Abschätzen erscheint mit dermaßen willkürlich, ich bekomme überhaupt keinen Draht dazu. Da die Änderungen sich nirgendwo anders auf den gegebenen Term auswirken, scheint dieses Abschätzen ja auch etwas anderes zu sein als das herkömliche Umformen (was nach bestimmten mathematischen Regeln funktioniert). Leute mit (Mathe-)Erfahrung machen das "irgendwie", zum Teil durch schlichtes Ausprobieren. Mir fehlt aber erstens diese Erfahrung, zweitens bin ich auch sonst in Mathe nicht gut. Auch mit dem Umformen von größeren Termen habe ich arge Schwierigkeiten. Ich kann also nicht im Voraus "sehen", was ich bei einer bestimmten Reihe machen muss. Daher also meine Frage: Wie kann man das (sinnvolle) Abschätzen von Reihen bezüglich Konvergenz lernen? Gibt es irgendwelche Regeln, Kochrezepte oder Muster, nach denen man sich durcharbeiten kann? Ich sehe andernfalls als "Laie" keine Möglichkeit, dieses Thema einigermaßen sicher in den Griff zu bekommen :-( Bin gespannt auf Eure Antworten. Viele Grüße, Fachfremd |
||
| 12.11.2011, 22:39 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Übung, Erfahrung, Übung, gutes Auge, Übung, "sowas ähnliches schonmal gesehen", Übung. Es gibt einige "Standardreihen", die man nicht nur kennen sollte, vielmehr MUSS man diese Reihen und ihr Konvergenzverhalten kennen. Dass etwa divergiert für und konvergiert für gehört dabei zum wichtigen Grundwissen. Ansonsten gibt es wenige Sachen, die man definitiv sagen kann, man braucht ein bestimmtes Gefühl, Erfahrung, gutes Auge oder wie man es nennen mag, um eine Vermutung über das Konvergenzverhalten zu treffen, dann kann man dahingehend abschätzen; macht man bei Reihen der Form den Zähler kleiner, verkleinert sich der gesamte Ausdruck. Macht man den Nenner größer, verkleinert sich ebenfalls der gesamte Ausdruck. Ein Spezialfall davon sind Reihen der Form hat, wobei Polynome sind. Hier hilft ein Blick auf die jeweils höchsten Potenzen, die geben Aufschluss über die Konvergenz. konvergiert, schenkt man nur den jeweils höchsten Potenzen Aufmerksamkeit, so hat man , diese Reihe konvergiert. Für "große n" gibt die höchste Potenz die Richtung vor und alle kleineren haben keinen großen Einfluss mehr. Das ist natürlich noch kein kompletter Nachweis, gibt aber eine Richtung vor. Neben dem Majoranten/Minorantenkriterium gibt es natürlich noch andere Konvergenzkriterien. Quotientenkriterim, Wurzelkriterium, Leibniz- bzw. Dirichletkriterium, Verdichtungskriterium, Integralkriterium...wann man diese einsetzt bzw. sinnvoll einsetzen kann, erfordert allerdings auch Erfahrung und Wissen der Art "bei einer ähnlichen Reihe hat das schonmal geklappt". |
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
