Analysis Folgenkonvergenz - Aufgaben

12.11.2011, 22:21	Alaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Analysis Folgenkonvergenz - Aufgaben Hallo, wir sind verzweifelt. Aufgabe 1) Untersuchen Sie, ob die reelle Folge $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ mit den unten angegebenen $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ konvergent ist, und berechnen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert. $\begin{eqnarray} a_{n} := \sqrt[n]{n} \end{eqnarray}$ Unsere Ideen: Es konvergiert auf jeden Fall gegen 1. Aber unser Epsilon-Beweis geht nicht auf. Wie soll man es sonst beweisen? Aufgabe 2) Gelte $\begin{eqnarray} a_{1} > b_{1} > 0 \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} a_{n+1} = \frac{a_{n}+b_{n}}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{n+1} = \frac{2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} a_{n} > a_{n+1} > b_{n+1} > b_{n} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , und folgern Sie, dass die Folgen $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (b_{n})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ gegen einen gemeinsamen Grenzwert $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ konvergieren. Was ist der Grenzwert $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ? Dazu haben wir wirklich keine Idee. Wir wissen nur von unserem Übungsleiter, dass wir das vermutlich mit Induktion machen sollen. Über Ansätze wären wir sehr dankbar. LG.
12.11.2011, 22:26	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1) versucht folgendes: $\begin{eqnarray} n = (\sqrt[n]{n})^{n} = ((\sqrt[n]{n})-1+1)^{n} \end{eqnarray}$ Nun versucht eine Abschätzung mit Hilfe der Binomischen Formel. Verwendet anschließend das Sandwich-Lemma.
13.11.2011, 18:47	Alaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist mit dem Sandwich Lemma gemeint?

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