Konvergenz / Divergenz Reihe

13.11.2011, 03:53

ZooBooJoo

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Konvergenz / Divergenz Reihe

Hallo!

Ich soll Konvergenz bzw. Divergenz von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2n+3}{3n^2+1} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Mit dem Quotientenkriterium bekomme ich 1 heraus, was keine Aussage liefert.

Ich versuche es also mit dem Majoranten- / Minorantenkriterium.

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{3n^2+1} = \frac{1}{n} \cdot \frac{2 + \frac{3}{n}}{3 + \frac{1}{n^2} } \end{eqnarray*}$
Jetzt habe ich da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ stehen, was ja schonmal ganz gut ist. Allerdings hab ich ja dahinter noch einen Faktor, der immer $\begin{eqnarray*} <1 \end{eqnarray*}$ ist, was ja das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ kleiner macht und ich somit vielleicht keine Divergenz, sondern Konvergenz habe, oder?

13.11.2011, 04:47

juffo-wup

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Die Reihe ist ja "im Wesentlichen" Summe über 1/n, muss also divergieren.

Schätze konkret den Zähler nach unten und den Nenner nach oben ab, sodass die beiden Terme ohne n verschwinden, dann hast du insgesamt für den Bruch eine $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ -Abschätzung.

13.11.2011, 17:47

ZooBooJoo

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RE: Konvergenz / Divergenz Reihe
Ich versuche folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{3n^2+1} \ge \frac{2n}{3n^2} =\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{3} \left( \ge \frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$

Wenn du das gemeint hast? Ist die letzte Abschätzung dann nicht falsch?

13.11.2011, 19:27

juffo-wup

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Die erste Abschätzung ist falsch, schon für n=1. (wobei sie ab einem gewissen n (edit: n=2) gilt, aber das zu beweisen wäre nur unnötig umständlich) Du kannst die 3 im Zähler einfach "wegwerfen", aber wenn du das mit der 1 im Nenner machst, wird der Bruch ja größer. Um nach unten abzuschätzen, musst du die 1 durch etwas größeres ersetzen, was aber leichter zu handhaben ist.

13.11.2011, 20:22

ZooBooJoo

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RE: Konvergenz / Divergenz Reihe
Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{3n^2+1} \ge \frac{2n}{3n^2+1} \ge \frac{2n}{3n^2 + n} \ge \frac{2}{3n + 1} \ge \frac{1}{3n + 1} \ge \frac{1}{3n + n} = \frac{1}{4n} \end{eqnarray*}$ ?

Zumindest habe ich jetzt richtig abgeschätzt. (mit deinem Tipp Mit Zunge

Mit Zunge

)

13.11.2011, 20:26

juffo-wup

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RE: Konvergenz / Divergenz Reihe
Die erste Abschätzung ist immernoch falsch, aber ich nehme an, da hast du dich nur verschrieben.
Sonst richtig, man hätte auch $\begin{eqnarray*} \geq \frac{2n}{4n^2}=\frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ nehmen können.

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15.11.2011, 11:03

ZooBooJoo

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Jep, ist editiert smile

smile

Jedoch muss man doch in etwa wissen ob man gegen Konvergenz oder Divergenz prueft, damit man effektiv abschaetzen kann.

15.11.2011, 12:35

Turbotobs

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Hallo,
aber jetzt stimmt doch eure Folgerung zum Minorantenkriterium nicht mehr oder?

Die Anfangsannahme von eurem Beweis ist doch:
$\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{3n^{2}+1} \geq \frac{1}{n} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

so stehts bei mir im Skript. Wenn ich dass jetzt zeigen kann, dann ist meine Reihe divergent.
Jetzt schätzt ihr a(n) nach unten ab, was mir auch logisch erscheint, weil wenn ihr eine Folge habt, die UNTER a(n) habt, welche divergiert, dann muss das für die eigentliche a(n) -die ja drüber liegt- auch gelten.

Für die Abschätzung habt ihr jetzt raus:
$\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{3n^{2}+1} \geq \frac{1}{4n} \end{eqnarray*}$

Und das jetzt in die eigentliche Formel des Minorantenkrit. eingesetzt steht da:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4n} \geq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Das ist ja aber offensichtlich falsch!

Bitte helft mir, denn scheinbar hab ich ein Verständnissproblem obwohl ich eig. dachte, dass ich weiß was das Minorantenkrit. aussagt.

Vielen Dank!

15.11.2011, 12:44

Mulder

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Zitat:

Original von Turbotobs
Die Anfangsannahme von eurem Beweis ist doch:
$\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{3n^{2}+1} \geq \frac{1}{n} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Niemand hat das angenommen, ich weiß gar nicht, wo du das gelesen haben willst. Und natürlich kannst du das nicht zeigen, weil diese Ungleichung überhaupt nicht stimmt.

15.11.2011, 12:59

Turbotobs

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Zitat aus meinem Skript:
Satz (Minoranten-Kriterium). Sei sei die reelle Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty b_{k} \end{eqnarray*}$ divergent. Sei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$ eine reele Reihe. Gilt: $\begin{eqnarray*} a_{k} \geq b_{k} \geq 0 \end{eqnarray*}$ dann ist auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$ divergent.

Wie muss den Satz dann interpretieren??

15.11.2011, 13:02

Mulder

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Du interpretierst den Satz vollkommen richtig, das Minoratenkriterium hast du wohl verstanden.

Dein einziges Problem ist, dass du andauernd falsche Ungleichungen aufstellst. Das hast du schon in deinem letzten Thread getan.

15.11.2011, 13:14

Turbotobs

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Zitat:

Original von Turbotobs
Zitat aus meinem Skript:
Satz (Minoranten-Kriterium). Sei sei die reelle Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty b_{k} \end{eqnarray*}$ divergent. Sei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$ eine reele Reihe. Gilt: $\begin{eqnarray*} a_{k} \geq b_{k} \geq 0 \end{eqnarray*}$ dann ist auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$ divergent.

Dann helf mir bitte! smile

smile

Wo liegt mein Fehler beim Herstellen vom zusammenhang zwischen dem Satz und meiner Ungleichung?

$\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ wäre doch dann die Folge meiner Reihe die ich auf divergenz untersuche möchte und $\begin{eqnarray*} b_{k} \end{eqnarray*}$ meine Vergleichsfolge, von der ich bereits weiß, dass sie divergiert (z.b. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ). Und wenn ich jetzt a(k) und b(k) in den Satz einsetzte komm ich auf meine Ungleichung die "dauerend falsch" ist.

Danke für deine Hilfe!!

15.11.2011, 13:52

Mulder

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RE: Konvergenz / Divergenz Reihe
Der Punkt ist doch:

Zitat:

Gilt $\begin{eqnarray*} a_k \geq b_k \end{eqnarray*}$ , DANN ist auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$ divergent.

Du wählst dir aber andauernd eine Folge $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ , die überhaupt nicht kleinergleich $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ ist. Das ist doch total an der Aussage des Satzes vorbei.

Das sage ich jetzt allerdings auch schon zum vierten Mal.

Ich meine, warum muss es denn auf Teufel komm raus diese Annahme sein:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{3n^{2}+1} \geq \frac{1}{n} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Die Ungleichung stimmt einfach nicht. Setz doch meinetwegen so an:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{3n^{2}+1} \geq \frac{1}{2n} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Oder so:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{3n^{2}+1} \geq \frac{1}{4n} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Oder so:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{3n^{2}+1} \geq \frac{1}{1000n} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Das wäre alles in Ordnung und so könntest du das dann auch machen. Auch wenn das viel umständlicher ist als der Weg, den juffo-wup und ZooBooJoo oben erarbeitet haben. Denn der Weg ist viel systematischer.

15.11.2011, 13:58

Calahan

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RE: Konvergenz / Divergenz Reihe
Ich glaube hier hakt's nur bei der einfachen Erkenntnis, dass mit

$\begin{eqnarray*} S_n=\sum_{k=1}^n\frac 1k \end{eqnarray*}$

auch $\begin{eqnarray*} \frac 14S_n=\sum_{k=1}^n\frac 1{4k} \end{eqnarray*}$

divergiert, da ein konstanter Faktor (ungleich Null) am Konvergenzverhalten einer Folge nichts ändert.

15.11.2011, 16:09

juffo-wup

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Zitat:

Original von ZooBooJoo
Jedoch muss man doch in etwa wissen ob man gegen Konvergenz oder Divergenz prueft, damit man effektiv abschaetzen kann.

Ja, man sollte schon eine Vermutung haben bei dieser Methode. Je mehr Beispiele man gesehen hat, desto besser wird die Intuition dafür natürlich, und Standard-Typen wie $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ divergiert, aber $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^a} \end{eqnarray*}$ für a>1 konvergiert, können in vielen (interessanten) Fällen zur Abschätzung verwendet werden. Es lohnt sich also, sich solche Typen zu merken, man muss ja nicht jedesmal das Rad neu erfinden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zum Beispiel kann man sich mit genau der gleichen Idee wie die, mit der zuerst geposteten Reihe abgeschätzt haben, überlegen, dass allgemeiner $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{p(n)}{q(n)} \end{eqnarray*}$ divergiert, falls p und q Polynome sind und p einen um genau 1 kleineren Grad als q hat.

16.11.2011, 21:38

ZooBooJoo

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RE: Konvergenz / Divergenz Reihe

Zitat:

Original von Calahan
Ich glaube hier hakt's nur bei der einfachen Erkenntnis, dass mit

$\begin{eqnarray*} S_n=\sum_{k=1}^n\frac 1k \end{eqnarray*}$

auch $\begin{eqnarray*} \frac 14S_n=\sum_{k=1}^n\frac 1{4k} \end{eqnarray*}$

divergiert, da ein konstanter Faktor (ungleich Null) am Konvergenzverhalten einer Folge nichts ändert.

Danke für diesen Beitrag!

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