Untervektoraum _2

13.11.2011, 12:12

liebe_Maus

Untervektoraum _2

Hallo liebe Mathefreunde smile

Folgende Aufgabe bereitet mir große Schwierigkeiten:
Es seien $\begin{eqnarray*} U_{1} ,U_{2},U_{3} \end{eqnarray*}$ Unterräume des Vektorraums V:
a) Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} U_{1}\subseteq U_{3}\Rightarrow (U_{1}+ U_{2})\cap U_{3}= U_{1}+ (U_{2}\cap U_{3}) \end{eqnarray*}$
b) Finden Sie ein Beispiel dafür, dass dies ohne die links stehende Voraussetzung im Allgemeinen
falsch ist, dass also $\begin{eqnarray*} U_{1}\subseteq U_{3}\Rightarrow (U_{1}+ U_{2})\cap U_{3}\neq U_{1}+ (U_{2}\cap U_{3}) \end{eqnarray*}$ möglich ist

Normalerweise habe ich immer eine Idee, aber diese Aufgabe sagt mir wenig aus. Vielleicht verstehe ich auch nicht das Problem in der notwendigen Tiefe.
Was ich weiß ist:
1)das der Durchschnitt zweier Unterräume wieder ein Unterraum von V ist
2)und das die Summe zweier Unterräume in jedem Unterraum von V wieder liegt
Was ich nicht weiß:
Die Teilmenge sagt mir wenig aus. Ich erkenne leider nichts wie man aus dem eine Folgerung schließen kann. Ist die Teilmenge mehr als nur eine Teilmenge von zwei Unterräume?

Das wäre echt lieb, wenn sich jemand meinem Problem zuwendet
lg
liebe_Maus

13.11.2011, 15:35

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal ist ein Fehler in der zweiten Behauptung. Es muss sicher $\begin{eqnarray*} U_1\not\subset U_3 \end{eqnarray*}$ heissen, sonst würde die Aussage ja der ersten Aufgabe widersprechen.

Gleichheit von Mengen beweist man häufig, indem man zeigt, dass alle Elemente der einen Menge auch in der anderen enthalten sind und umgekehrt. Ohne es jetzt im Detail gerechnet zu haben, denke ich, dass dies auch hier der Weg sein dürfte.

14.11.2011, 01:11

liebe_Maus

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, danke erstmal für deine Antwort!
Das ist mir auch klar, denn anders kann ich es mir auch nicht vorstellen.
Ich mach mal den Start und an dem Punkt wo ich hängen bleibe, wäre ich euch für eine Hilfestellung sehr vebunden:
$\begin{eqnarray*} x\in (U_{1}+ U_{2})\cap U_{3} \Leftrightarrow x\in (U_{1}+ U_{2}) \wedge x\in U_{3} \Leftrightarrow ? \end{eqnarray*}$

Die Antwort muss jetzt auch nicht sofort sein , da es eher eine Verständnisfrage ist.
Apropos, es stimmt! Für b) muss es $\begin{eqnarray*} U_1\not\subset U_3 \end{eqnarray*}$ lauten. Dafür habe ich mitlerweile einen Gegenbeispiel gefunden, was ich aber gegen Ende posten werde, damit dieser Thread weiterhin seine Übersicht beibehält.
Freue mich schon auf eure Antworten smile

lg und Gute n8
liebe_Maus

14.11.2011, 01:27

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit stimmt es schon einmal. Als nächstes solltest Du Dir überlegen, wie sich die erste Aussage in einer Gleichung darstellen lässt.
$\begin{eqnarray*} x \in U_1+U_2 \Rightarrow \exists ... \end{eqnarray*}$

14.11.2011, 01:49

liebe_Maus

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann mir gut vorstellen, was du mir sagen möchtest.
Ich soll mit der Definition der Vektorraumsumme arbeiten, die folgendermaßen lautet
(b)Die Vektorraumsumme
Seien V ein K-Vektorraum und V, W Unterräume von V. Dann gelten:
$\begin{eqnarray*} U+W:=\left\{ u+ w|u\in U,w\in W \right\} \end{eqnarray*}$ ist ein Unterraum von V, der in jedem Unterraum U' von V enthalten ist
mit $\begin{eqnarray*} U' \subseteq U\cup W \end{eqnarray*}$
(d.h. U+W ist der kleinste Unterraum von V, der $\begin{eqnarray*} V\cup W \end{eqnarray*}$ enthält.)

In wie fern hilft mir dieser Definition weiter bzw. in wie fern versteckt sich hier ein Existenzquantor?
Und nochmal danke für deine Antwort in dieser späten Nacht Freude

lg
liebe_Maus

14.11.2011, 02:08

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Was Du da hast ist die Definition der gesamten Menge.
Wir haben es hier aber nur mit einem einzigen Element dieser Menge zu tun, nämlich x. Wenn dies in der Summe liegt, muss es sich als Summe zweier Elemente der zugehörigen Vektorräume darstellen lassen. Darauf wollte ich hinaus. Schreib das formel korrekt hin und einen Schritt weiter hast Du dann die eine Richtung erledigt. Die andere läuft nach demselben Prinzip.

Bin dann aber wirklich mal im Bett, also nicht wundern, dass heute Nacht von mir keine weiteren Antworten mehr kommen Augenzwinkern

14.11.2011, 02:34

liebe_Maus

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich einen schritt weiter formalisiere, käme ich auf:
$\begin{eqnarray*} x\in (U_{1}+ U_{2})\cap U_{3} \Leftrightarrow x\in (U_{1}+ U_{2}) \wedge x\in U_{3} \Leftrightarrow x= u_{1} + u_{2}\wedge u_{1} + u_{2}\in U_{3} \end{eqnarray*}$
Ich kann mir gut vorstellen, wo auch die Existenzquantoren hinkämen, aber ich wüsste auch nicht warum. Weshalb fügen wir einen Existezquantor ein bzw. warum ist das völlig ligitim einen Existenquantor einzufügen?

Ich wird mir jetzt auch einen schönen Schlaf gönnen!
Und das ist echt super lieb von dir das du bis spät in die Nacht für mich Zeit genommen hast Mit Zunge

Ich wünsche dir eine gute Nacht!
lg
liebe_maus

14.11.2011, 13:04

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Das problematische an der rechten Seite ist, dass deine $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ an der Stelle noch gar nicht definiert sind.
Du behauptest nur, dass sich x als Summe zweier anderer Vektoren darstellen lässt und ein Element von $\begin{eqnarray*} U_3 \end{eqnarray*}$ ist. Was es mit den $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ auf sich hat bleibt aber völlig offen.

Zum Beispiel ist x=0,5x+0,5x sicherlich richtig und für x aus $\begin{eqnarray*} U_3 \end{eqnarray*}$ die rechte Seite somit erfüllt. Ob x aber in $\begin{eqnarray*} U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ liegt, wissen wir damit natürlich überhaupt nicht und im Regelfall wird das auch nicht zutreffen.

Du musst also auf jeden Fall die $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ klären bevor Du sie verwendest und das machen wir hier mit dem Existenzquantor. Ob man damit auch zurückkommt ist natürlich eine andere Frage und deshalb hatte ich ja auch vorgeschlagen erst die Hin-Richtung zu zeigen und danach den Rückweg separat zu betrachten.

14.11.2011, 13:31

Parker_halo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Helferlein
Zunächst einmal ist ein Fehler in der zweiten Behauptung. Es muss sicher $\begin{eqnarray*} U_1\not\subset U_3 \end{eqnarray*}$ heissen, sonst würde die Aussage ja der ersten Aufgabe widersprechen.

Ich denke nicht dass es $\begin{eqnarray*} U_1\not\subset U_3 \end{eqnarray*}$ heissen muss.

Damit die Hauptaussage Unwahr wird, ändern die Aufgabensteller hier nicht, dass U1 keine Teilmenge von U2 ist, sondern dass U1, U2, U3 keine Unterräume mehr sind.

Du musst also in Teilaufgabe b) konkrete Mengen angeben für die aber immer noch $\begin{eqnarray*} U_1\subset U_3 \end{eqnarray*}$ gilt

14.11.2011, 16:47

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

@Parker:
Erstens steht da oben "ohne die links stehende Voraussetzung" und links steht zumindest hier im Forum die Teilmengenbedingung.
Zweitens hat die Fragestellerin bereits bestätigt, dass es sich um einen Schreibfehler handelt und drittens würde die Aussage für beliebige Mengen nur dann einen Sinn ergeben, wenn eine Addition dieser Mengen definiert ist. Das scheint mir doch ein wenig weiter hergeholt als die Vermutung, dass lediglich ein Strich fehlt Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Untervektoraum _2

Verwandte Themen