Fundiertheit

13.11.2011, 12:54

Gast11022013

Fundiertheit

Meine Frage:
Hallo! Könnt ihr mir vllt. bei einer Aufgabe weiterhelfen?

Es geht um den Begriff "fundierte Menge".

Erstmal die Definition, die wir bekommen haben:

Eine Menge M heißt fundiert, falls gilt: $\begin{eqnarray*} M=\emptyset \end{eqnarray*}$ oder es existiert eine Menge $\begin{eqnarray*} U\in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U\cap M=\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Jetzt die Aufgabe:

Ist die Menge M nicht fundiert, dann existiert für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\omega \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \omega=\left\{0,1,2,3,...\right\} \end{eqnarray*}$ Menge aller natürlichen Zahlen nach von Neumann) eine endliche Folge $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_{n+1}\in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_{n+1}\in x_n\in\hdots\in x_2\in x_1\in M \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich habe leider keine wirkliche Idee!

Ich würde so anfangen:

Sei M nicht fundiert, d.h. $\begin{eqnarray*} M\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ und es ex. keine Menge $\begin{eqnarray*} U\in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U\cap M=\emptyset \end{eqnarray*}$ (d.h. doch, daß für alle Mengen $\begin{eqnarray*} U\in M \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} U\cap M\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ ).

Weiter komme ich jedoch leider nicht.

Edit:

Also so ganz ohne eigenen Ansatz möchte ich das hier doch nicht fragen; ich habe mir Folgendes überlegt, wobei ich nicht weiß, ob das einigermaßen sinnvoll ist:

Da die Menge M nicht fundiert ist, gilt m.E.: $\begin{eqnarray*} M\neq\emptyset\wedge \forall U\in M: U\cap M\neq\emptyset \end{eqnarray*}$

Zunächstmal ist die Menge M also nicht-leer. Das bedeutet, M enthält abzählbar viele (endlich oder unendlich) oder überabzählbar viele Elemente, mindestens aber 1 Element.

Vielleicht kann man jetzt einfach mal $\begin{eqnarray*} x_1:=M \end{eqnarray*}$ setzen. Da M nicht fundiert ist, gilt $\begin{eqnarray*} x_1\cap M\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ . Das heißt es gibt ein $\begin{eqnarray*} x_2\in x_1 \end{eqnarray*}$ , für das auch gilt $\begin{eqnarray*} x_2\in M \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle weiß ich jetzt nicht mehr weiter und das läßt mich zweifeln, ob dies überhaupt der richtige Beweisweg ist...

14.11.2011, 00:51

gonnabphd

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Hi,

Zitat:

Zunächstmal ist die Menge M also nicht-leer. Das bedeutet, M enthält abzählbar viele (endlich oder unendlich) oder überabzählbar viele Elemente, mindestens aber 1 Element.

Genau.

Zitat:

Vielleicht kann man jetzt einfach mal $\begin{eqnarray*} x_1:=M \end{eqnarray*}$ setzen. Da M nicht fundiert ist, gilt $\begin{eqnarray*} x_1\cap M\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ . Das heißt es gibt ein $\begin{eqnarray*} x_2\in x_1 \end{eqnarray*}$ , für das auch gilt $\begin{eqnarray*} x_2\in M \end{eqnarray*}$

Wieso setzt du nun $\begin{eqnarray*} x_1 = M \end{eqnarray*}$ ? Es muss doch nicht $\begin{eqnarray*} M \in M \end{eqnarray*}$ gelten...

Allerdings hast du ja oben schon gesagt, dass ein $\begin{eqnarray*} x_1 \in M \end{eqnarray*}$ existert, da $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nicht fundiert ist.

Damit hast du im Prinzip schonmal für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ eine solche Folge

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_1,...,x_{n+1}\in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_{n+1}\in x_n\in\hdots\in x_2\in x_1\in M \end{eqnarray*}$ .

konstruiert. Kann man diese nun weiterbauen? D.h. findest du $\begin{eqnarray*} x_2\in M \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} x_2\in x_1\in M \end{eqnarray*}$

ist? Kannst du das dann algemein weiterführen?

14.11.2011, 06:57

Gast11022013

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Zitat:

Original von gonnabphd
Kann man diese nun weiterbauen? D.h. findest du $\begin{eqnarray*} x_2\in M \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} x_2\in x_1\in M \end{eqnarray*}$

ist? Kannst du das dann algemein weiterführen?

Also da die Menge M nicht fundiert ist, gilt m.E. $\begin{eqnarray*} x_1\cap M\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ . Es gibt also ein $\begin{eqnarray*} x_2: x_2\in x_1\wedge x_2\in M \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x_2\in x_1\in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1, x_2\in M \end{eqnarray*}$ . Damit müsste für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ eine solche Folge gefunden sein.

Und könnte man nicht jetzt wieder anfangen: $\begin{eqnarray*} x_2\cap M\neq\emptyset\Rightarrow\exists x_3: x_3\in x_2\wedge x_3\in M . . . \end{eqnarray*}$ und das quasi immer so weiter und so fort?

---

Was hat es eigentlich für eine Bedeutung, daß in der Aufgabenstellung von den natürlichen Zahlen nach von Neumann die Rede ist? Ich weiß, was diese sind, aber wieso benutzt man hier diese und nicht die "normalen" natürlichen Zahlen... muss man da irgendwie was in der Bearbeitung der Aufgabe extra beachten oder noch zusätzlich beweisen?

[Vielleicht sollte ich dazu sagen, daß in einer Aufgabe davor mit der Menge $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ aller natürlichen Zahlen nach von Neumann gearbeitet wurde und daß der Professor vielleicht deswegen hier diese nennt.]

14.11.2011, 07:12

gonnabphd

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Zitat:

Und könnte man nicht jetzt wieder anfangen: $\begin{eqnarray*} x_2\cap M\neq\emptyset\Rightarrow\exists x_3: x_3\in x_2\wedge x_3\in M . . . \end{eqnarray*}$ und das quasi immer so weiter und so fort?

Ja, das sollte doch klappen. Einfach rekursiv definieren bis du bei n+1 angelangt bist (wär zumindest meine Version).

Zitat:

Was hat es eigentlich für eine Bedeutung, daß in der Aufgabenstellung von den natürlichen Zahlen nach von Neumann die Rede ist? Ich weiß, was diese sind, aber wieso benutzt man hier diese und nicht die "normalen" natürlichen Zahlen... muss man da irgendwie was in der Bearbeitung der Aufgabe extra beachten oder noch zusätzlich beweisen?

Hmm, weiss nicht so genau. Vielleicht soll das verdeutlichen, dass die natürlichen Zahlen nach von Neumann eben eine fundierte Menge sind und eine solche Konstruktion darin deshalb nicht möglich wäre, wenn man $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ duch $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ersetzt? Wenn ihr die ganze Mathematik von einem fundamentalen Standpunkt aus aufbauen wollt, dann will er natürlich nicht die "normalen" natürlichen Zahlen verwenden ohen diese (und deren Eigenschaften) vorher definiert/postuliert zu haben - vielleicht deshalb?

Ich weiss es nicht so genau. verwirrt

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