Fourierpolynom

13.11.2011, 13:01

Cheftheoretiker

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Fourierpolynom

Hi Leute,

ich bin gerade mit dem Fourierpolynom beschäftigt und hänge an einer Stelle,

Gegeben ist die Funktion, $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ periodisch ist.

$\begin{eqnarray*} 2\pi=T=\frac{2\pi}{\omega}\Rightarrow \omega=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{2}{2\pi}*\int_{0}^{2\pi}x^2dx=\left[\frac{x^3}{x}\right]_{0}^{2\pi}=\frac{1}{\pi}\frac{8\pi^3}{3}=\frac{8\pi^3}{3\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{2\pi}*\int_{0}^{2\pi}x^2*cos(kx)dx=\frac{1}{\pi}\left(\left[x^2*\frac{1}{k}*cos(kx)\right]_{0}^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}2x*\frac{1}{k}*cos(kx)dx\right) \end{eqnarray*}$

NR:1

$\begin{eqnarray*} u(x)=x^2 \Rightarrow u'(x)=2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'(x)=cos(kx) \Rightarrow v(x)=\frac{1}{k}*cos(kx) \end{eqnarray*}$

Nr:2

$\begin{eqnarray*} u(x)=2x \Rightarrow u'(x)2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'(x)=\frac{cos(kx)}{k} \Rightarrow v(x)=? \end{eqnarray*}$

Ist es bis hierhin richtig?
Ich hänge etwas an der Berechnung, der Stammfunktion... kann nochmal jemand helfen? verwirrt

verwirrt

13.11.2011, 14:16

Cel

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RE: Fourierpolynom
Hey hangman! Wir wandern in die HS-Analysis, das ist nämlich ein Thema derselben.

Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{2}{2\pi}*\int_{0}^{2\pi}x^2dx=\left[\frac{x^3}{x}\right]_{0}^{2\pi}=\frac{1}{\pi}\frac{8\pi^3}{3}=\frac{8\pi^3}{3\pi} \end{eqnarray*}$

Das solltest du dir noch mal angucken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} v'(x)=cos(kx) \Rightarrow v(x)=\frac{1}{k}*cos(kx) \end{eqnarray*}$

Das ebenso.

cos integriert gibt ja nicht cos.

13.11.2011, 14:35

Cheftheoretiker

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RE: Fourierpolynom
Hi,

$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{2}{2\pi}*\int_{0}^{2\pi}x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2\pi}=\frac{8\pi^3}{3\pi}=\frac{8\pi^2}{3} \end{eqnarray*}$

Ist jetzt $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ richtig? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} v'(x)=cos(kx) \Rightarrow v(x)=\frac{1}{k}*sin(kx) \end{eqnarray*}$

Ist das nun richtig?

13.11.2011, 14:38

Cel

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Nein, $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ stimmt nicht. Wieso steht da ein Pi im Nenner?

v stimmt. Und genau so bestimmst du auch das v aus NR 2. 1/k ist ein konstanter Vorfaktor, du bestimmst einfach eine Stammfunktion von cos(kx).

13.11.2011, 14:39

Cheftheoretiker

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Ich dachte wegen dem $\begin{eqnarray*} \frac{2}{2\pi} \end{eqnarray*}$ . Die müssen doch noch drauf multipliziert werden oder nicht... verwirrt

verwirrt

13.11.2011, 14:50

Cel

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Entschuldigung! Da hast du recht. Ich habe gerade immer in meine alte Ana-Vorlesung geschaut und dort haben wir immer die Funktionen $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ -periodisch fortgesetzt und nicht $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodisch wie du hier. Dann musst du dieses $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ aber auch mitschleppen, zischendurch hast du es weggelassen.

Aber das stimmt dann bis hierher alles. smile

smile

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13.11.2011, 15:02

Cheftheoretiker

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Okay

smile

weiter gehts,

$\begin{eqnarray*} ...=\left[x^2*\frac{1}{k}*sin(kx)\right]_{0}^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}2x*\frac{1}{k}*sin(kx)dx \end{eqnarray*}$

Die erste Berechnung: Wenn man $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ einsetzt, ist es immer ein vielfaches von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Also ergibt der erste Ausdruck, $\begin{eqnarray*} 4\pi^2*\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

NR 2:

$\begin{eqnarray*} u(x)=2x \Rightarrow u'(x)=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'(x)=\frac{1}{k}*sin(kx) \Rightarrow v(x)=? \end{eqnarray*}$

Wie stelle ich das denn nun mit der Stammfunktion an? unglücklich

unglücklich

13.11.2011, 15:08

Cel

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Zitat:

Original von hangman
Die erste Berechnung: Wenn man $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ einsetzt, ist es immer ein vielfaches von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Also ergibt der erste Ausdruck, $\begin{eqnarray*} 4\pi^2*\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Jo.

Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} v'(x)=\frac{1}{k}*sin(kx) \Rightarrow v(x)=? \end{eqnarray*}$

Wie stelle ich das denn nun mit der Stammfunktion an? unglücklich

unglücklich

Warum macht dir das Schwierigkeiten? Du hast es doch oben ähnlich gemacht. 1/k ist konstant, was ist eine Stammfunktion von sin(kx)? Oben hast du doch auch bereits cos(kx) richtig integriert.

13.11.2011, 15:21

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} v'(x)=\frac{1}{k}*sin(kx) \Rightarrow v(x)=\frac{1}{k}*(-cos(kx)) \end{eqnarray*}$

so? verwirrt

verwirrt

13.11.2011, 15:30

Cel

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Schauen wir mal. Ich leite deine vorgeschlagene Lösung mal ab, macht $\begin{eqnarray*} \sin(kx) \end{eqnarray*}$ . Hmmm, stimmt wohl noch nicht so ganz. Was ist dem k da drin? Das hast du beim Integrieren nicht beachtet. Ich bin grad etwas verwirrt, weil es doch bei der ersten Funktion so gut geklappt hat. Und da stand nur statt des sin ein cos. Lass dich von dem 1/k nicht verwirren, ist nur eine Konstante.

13.11.2011, 15:34

Cheftheoretiker

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Wenn ich das mit der Produktregel ableite erhalte ich folgendes,

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{k}*(-cos(kx))'=0+\frac{1}{k}*sin(kx) \end{eqnarray*}$

hmmm... verwirrt

verwirrt

13.11.2011, 15:48

Cel

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Warum nimmst du da die Produktregel? 1/k ist ein fester Faktor, eine Konstante. Stichwort: Faktorregel. Aber gut, selbst wenn du das so machen möchtest, hast du die innere Ableitung von -cos(kx) vergessen. Die Ableitung von -cos(5x) ist ja auch nicht sin(5x). Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.11.2011, 16:17

Cheftheoretiker

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Ach, ich Trottel lol! Forum Kloppe

Forum Kloppe

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}*sin(kx)*k \end{eqnarray*}$ ist die Ableitung was $\begin{eqnarray*} sin(kx) \end{eqnarray*}$ ergeben würde.

Also muss die Stammfunktion $\begin{eqnarray*} v(x)=\frac{1}{k^2}*(-cos(kx)) \end{eqnarray*}$ sein? smile

smile

13.11.2011, 16:30

Cel

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Genau!

smile

Geht's jetzt gut weiter?

13.11.2011, 16:52

Cheftheoretiker

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Was mir gerade noch auffällt, hätte ich $\begin{eqnarray*} 4\pi^2*\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ nicht noch mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ multiplizieren müssen? geschockt

geschockt

$\begin{eqnarray*} ...=-\left[2x*\frac{1}{k^2}*(-cos(kx))\right]_{0}^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}2*\frac{1}{k^2}*(-cos(kx))dx \end{eqnarray*}$

Hier auch wieder mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ multiplizieren? Wie mache ich das denn nun mit dem Integral? verwirrt

verwirrt

13.11.2011, 17:01

Cel

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Mach das mal so: Lass den Vorfaktor erst mal weg und multipliziere ihn hinterher dran. Aber stimmt schon. (Blöde Konstanten)

Nun ja, das letzte Integral kannst du jetzt wieder ausrechnen. Das ist im Grunde wieder das gleiche wie die ersten beiden Male. Dort steht jetzt nur noch was mit cos. Und denk an die innere Ableitung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.11.2011, 20:37

Cheftheoretiker

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Ich habe jetzt mal weiter gemacht...

$\begin{eqnarray*} ...=-\left[2x*\frac{1}{k^2}*(-cos(kx))\right]_{0}^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}2*\frac{1}{k^2}*(-cos(kx))dx \end{eqnarray*}$

Für die Berechnung des Integrals bekomme ich $\begin{eqnarray*} \frac{4\pi}{k^2} \end{eqnarray*}$ raus.

Weiter geht es,

$\begin{eqnarray*} u(x)=2 \Rightarrow u'(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'(x)=\frac{1}{k^2}*(-cos(kx)) \Rightarrow v(x)=\frac{1}{k^3}*(-sin(kx)) \end{eqnarray*}$

Sind die Ableitungen richtig? verwirrt

verwirrt

15.11.2011, 20:43

Cel

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Der erste Wert sieht gut aus.

Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} u(x)=2 \Rightarrow u'(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'(x)=\frac{1}{k^2}*(-cos(kx)) \Rightarrow v(x)=\frac{1}{k^3}*(-sin(kx)) \end{eqnarray*}$

Sind die Ableitungen richtig? verwirrt

verwirrt

Ist richtig, aber du wirst das Integral nicht durch partielle Integration lösen, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zieh den konstanten Faktor nach vorne und du kannst wunderbar ohne pI integrieren. Die Stammfunktion v hast du ja schon richtig hingeschrieben. Freude

Freude

15.11.2011, 20:54

Cheftheoretiker

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Natürlich nicht Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} ...=-2\left[\frac{1}{k^3}*(-sin(kx))\right]_{0}^{2\pi}=0 \end{eqnarray*}$

Es ist immer ein vielfaches von 0

Tragen wir mal zusammen,

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{\pi}\left(4\pi^2*\frac{1}{k}+\frac{4\pi}{k^2}\right)=\frac{4\pi^2k+4 \pi}{k^2\pi}=\frac{4\pi+4}{k^2} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? verwirrt

verwirrt

15.11.2011, 21:28

Cel

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Wo ist das k im Zähler geblieben? Ansonsten würd ich dem zustimmen.

15.11.2011, 21:31

Cheftheoretiker

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Ups,

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{\pi}\left(4\pi^2*\frac{1}{k}+\frac{4\pi}{k^2}\right)=\frac{4\pi^2k+4 \pi}{k^2\pi}=\frac{4\pi k+4}{k^2} \end{eqnarray*}$

Morgen werde ich mich an $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ machen... smile

smile

Schonmal Danke bis hierhin.

Kurz zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{8\pi^2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{4\pi k+4}{k^2} \end{eqnarray*}$

15.11.2011, 21:39

Cel

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Ich habe bis jetzt nur mal drüber geguckt und werde das morgen auch noch mal auf einem Blatt nachrechnen. Mti den $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ wirst du wenige Probleme haben - es gibt für gerade Funktionen eine Regel - aber rechne mal lieber (wie ich), das übt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.11.2011, 00:16

Cel

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So, jetzt doch ein Doppelpost, den ich tätige, weil ich - tut mir Leid unglücklich

unglücklich

- die gesamte Aufgabe zerhackstücken muss. Du bzw. wir haben nämlich von Anfang an mit den falschen Integrationsgrenzen gerechnet. unglücklich

unglücklich

Woher hattest du deine Formel $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2 \pi} \dots \end{eqnarray*}$ ? Falls du sie von Wiki hast (oder auch sonst woher, es wird dort stehen), dann hast du vielleicht wie ich überlesen, dass die Funktion, deren Fourierreihe wir bestimmen möchten, periodisch sein muss. Das ist $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ aber sicher nicht. Wenn wir den Sinus selbst entwickeln wollten, dann ginge es. So aber nicht. Deswegen: Von vorne. In diesem Fall (und auch in jedem anderen Falle, den ich kenne als Übungsaufgabe) bekommst du die Koeffizienten über
$\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cdot \cos(kx) ~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ bzw.
$\begin{eqnarray*} b_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cdot \sin(kx) ~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) ~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Habe ich hierher.

Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} ...=\left[x^2*\frac{1}{k}*sin(kx)\right]_{0}^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}2x*\frac{1}{k}*sin(kx)dx \end{eqnarray*}$

Die erste Berechnung: Wenn man $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ einsetzt, ist es immer ein vielfaches von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Übrigens stimmte das auch noch nicht. $\begin{eqnarray*} \sin(k 2\pi) = 0 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber das ist für die wirkliche Aufgabe nicht relevant.

Ich hoffe, du bleibst dran. Bisher lief alles gut, und sooo viel anders ist es ja jetzt auch nicht.

16.11.2011, 15:14

Cheftheoretiker

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Ich dachte wenn man auf der x-Achse $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ abträgt, wiederholt sich die Fourierreihe bis zu dem $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ immer wieder. In meinen Unterlagen steht das auch das man die Periode T wählen muss... verwirrt

verwirrt

Bzw. wann kann ich denn die obere Grenze T und die untere 0 wählen? verwirrt

verwirrt

Jetzt verstehe ich garnichts mehr... unglücklich

unglücklich

In meinen Unterlagen wurde das Fourierpolynom von folgender Funktion gebildet, $\begin{eqnarray*} f(x)=\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

auch mit den Grenzen von 0 bis T verwirrt

verwirrt

Wieso klappt das denn hier? verwirrt

verwirrt

16.11.2011, 18:01

Cel

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Zitat:

Original von hangman
Bzw. wann kann ich denn die obere Grenze T und die untere 0 wählen? verwirrt

verwirrt

Jetzt verstehe ich garnichts mehr... unglücklich

unglücklich

Ich bin auch ziemlich verwirrt, muss ich sagen. So wie es in Wiki steht, muss die Funktion, die man entwickelt, periodisch sein. Allerdings ist das ja $\begin{eqnarray*} (x-\pi/2)^2 \end{eqnarray*}$ von unten ja auch nicht ... Falls jemand mitliest und mehr weiß: Immer nur reinschreiben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von hangman
In meinen Unterlagen wurde das Fourierpolynom von folgender Funktion gebildet, $\begin{eqnarray*} f(x)=\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

auch mit den Grenzen von 0 bis T verwirrt

verwirrt

Was kommt da für $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ heraus? Ich habe dein Beispiel mit deiner Formel durchgerechnet (es kommt wie gesagt etwas anderes heraus) und geplottet - es sieht nicht gut aus. unglücklich

unglücklich

16.11.2011, 18:08

Cheftheoretiker

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Also für ...

$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_k=0 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

16.11.2011, 19:52

Cel

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Jetzt wird es spannend! Ich habe das mal beides geplottet und schau dir das mal an (dabei habe ich die Summenbildung der Reihe bei n=100 abgebrochen):

[attach]21938[/attach]

Viel Ähnlichkeit haben die nicht, oder? Woher kommen denn deine Unterlagen?

Ich selbst lerne durch dich jetzt auch wieder was über Fourierreihen und langsam kommt Licht in das Dunkel:

Der Bereich, über den man integriert, muss aus der Aufgabe ersichtlich sein. Dort sollte so etwas stehen wie "Betrachten sie die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in [-\pi, \pi] \end{eqnarray*}$ und entwickeln Sie ... bla bla in eine $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ - periodische ..."

Steht das nicht da, nimmt man es in aller Regel an! Steht dort hingegen, dass man die Funktion im Intervall $\begin{eqnarray*} [0, 2\pi] \end{eqnarray*}$ betrachten soll, dann muss man über diesen Bereich integrieren. Allerdings versuche ich schon seit gestern, für deine Aufgabe und dieses Intervall eine vernünftige Lösung zu finden. Ganz ehrlich, ich schaffe es nicht. Weil eben in allen Aufgaben, die ich kenne, die Funktionen im Bereich $\begin{eqnarray*} [-\pi, \pi] \end{eqnarray*}$ entwickelt wird.

Ein beliebiges Intervall der Länge $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ darf man nur wählen, wenn die Funktion selbst und natürlicherweise periodisch ist.

Edit: So, jetzt habe ich es (oben in dem Bild muss übrigens natürlich (x-pi)^2 stehen).

Es klappt alles wie gewünscht, auch deine gewünchte Aufgabe. Was du allerdings sagen musst (und auch deine Quellen tun das), ist der Bereich, in dem entwickelt werden soll. Bei dir ist das jetzt $\begin{eqnarray*} [0, 2\pi] \end{eqnarray*}$ . Das ist auch ok, aber wenn die nächste Aufgabe von einem anderen Intervall der Länge 2 Pi spricht, musst du darüber integrieren.

Wir können also mit deiner Aufgabe weitermachen, weil wir f von 0 bis 2Pi approximieren möchten. Und weil hier so viel Chaos entstanden ist, verrate ich dir die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und du rechnest noch mal drüber, ob du dahin kommst: $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{4}{k^2} \end{eqnarray*}$ . Danach kommen die $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ , die mir jetzt zwei Tage lang ein Bein gestellt haben. Forum Kloppe

Forum Kloppe

16.11.2011, 20:22

Cheftheoretiker

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Ist jetzt $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ in dem Intervall von $\begin{eqnarray*} \left[0,2\pi\right] \end{eqnarray*}$ doch periodisch oder warum geht das nun? verwirrt

verwirrt

16.11.2011, 20:40

Cel

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Nein, man macht die Funktion periodisch, man setzt sie fort. Aber das ist nicht der Grund. Der Grund ist, dass du die Funktion im Bereich von 0 bis 2*Pi darstellen möchtest. Das muss in der Aufgabe angegeben sein. Wenn dort steht, dass du die Funktion von -Pi bis +Pi darstellen sollst, dann integrierst du von -Pi bis +Pi.

16.11.2011, 20:41

Cheftheoretiker

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Kann ich die Funktion denn nicht in einem beliebigen Intervall stetig fortsetzen? verwirrt

verwirrt

16.11.2011, 20:49

Cel

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Es geht nicht ums stetige Fortsetzen, sondern ums periodische Fortsetzen. Aber darum geht es hier nicht. Nochmal:

Man hat eine Funktion f, die man im in einem bestimmten Intervall betrachtet. Beim Bestimmen der Fourierkoeffizienten integriert man über dieses Intervall.

Passend zu dem Intervall wird f periodisch fortgesetzt. Ist das Intervall oben eines der Länge $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ , dann wird f $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodisch fortgesetzt. Üblicherweise wird das andersherum gemacht. Zuerst bestimmt die Aufgabe, wie die Funktion fortgesetzt wird. Dann wird bestimmt, über welchen Bereich das Fourierpolynom die Funktion approximieren bzw. darstellen soll.

Aber wie gesagt, du musst dir darüber keine Gedanken machen. Die Aufgabe schreibt dir das alles vor.

17.11.2011, 18:21

Cheftheoretiker

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So,

ich habe mich jetzt mal an $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ gesetzt,
$\begin{eqnarray*} b_k=\frac{2}{2\pi}*\int_{0}^{2\pi} x^2*sin(kx)dx=\left[x^2*\frac{1}{k}*(-cos(kx))\right]_{0}^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi} 2x*\frac{1}{k}*(-cos(kx))dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-\left[2x*\frac{1}{k^2}*(-sin(kx))\right]_{0}^{2\pi}-2\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{k^2}*(-sin(kx))dx=\left[\frac{1}{k^3}*cos(kx))\right]_{0}^{2\pi}=-\frac{4\pi}{k} \end{eqnarray*}$

Der erste Klammerausdruck ergibt = $\begin{eqnarray*} -4\pi^2*\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$
Der zweite Klammerausdruck ergibt = $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$
Der dritte Klammerausdruck ergibt = $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$
NR 1:

$\begin{eqnarray*} u(x)=x^2 \Rightarrow u'(x)=2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'(x)=sin(kx) \Rightarrow v(x)=\frac{1}{k}*(-cos(kx)) \end{eqnarray*}$

NR 2:

$\begin{eqnarray*} u(x)=2x \Rightarrow u'(x)=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'(x)=\frac{1}{k}*(-cos(kx)) \Rightarrow v(x)=\frac{1}{k^2}*(-sin(kx)) \end{eqnarray*}$

Zuletzt rechne ich noch, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi}*-4\pi^2*\frac{1}{k}=-\frac{4\pi}{k} \end{eqnarray*}$

So, ich hoffe $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ ist richtig... verwirrt

verwirrt

17.11.2011, 19:57

Cel

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Jawohl, $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ stimmt. Freude

Freude

Schauen wir uns das ganze mal an, ich habe das wieder geplottet:

[attach]21970[/attach]

Schaut doch ganz gut aus, oder nicht? Das Polynom, welches dort zu sehen ist, ist

$\begin{eqnarray*} g(x) =\frac{4 \pi^2}{3} + \sum_{k=1}^{200} \left(\frac{4}{k^2} \cos(k x) - \frac{4 \pi}{k} \sin(kx)\right) \end{eqnarray*}$

Wichtig jetzt noch, da ich es so lange selbst nicht mehr drauf hatte: Weißt du nun, wann du über welches Integral zu integrieren hast? Wie gesagt, du kannst alle Intervalle der Länge $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ nehmen, das Polynom wird die Funktion aber nur dort annähern. Die Aufgabe muss dir verraten, wo die Funktion zu approximieren ist!

17.11.2011, 20:35

Cheftheoretiker

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Yeah!

Tanzen

Sieht in der Tat gut aus. smile

smile

Ich meine wenn doch,

$\begin{eqnarray*} \Phi_n (x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{4 \pi^2}{3} + \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{4}{k^2} \cos(k x) - \frac{4 \pi}{k} \sin(kx)\right)} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \Phi_n (x)=f(x) \end{eqnarray*}$

Ich muss doch über das Integral integrieren was in der Aufgabe angegeben ist oder nicht? verwirrt

verwirrt

Noch eine Frage, ist es eigentlich nicht viel einfacher eine Funktion mit Taylor zu approximieren? Die Fourier Reihe kommt mir ziemlich umständlich vor... verwirrt

verwirrt

Schonmal vielen Dank! smile

smile

17.11.2011, 22:40

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hangman
Ich meine wenn doch,

$\begin{eqnarray*} \Phi_n (x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{4 \pi^2}{3} + \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{4}{k^2} \cos(k x) - \frac{4 \pi}{k} \sin(kx)\right)} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \Phi_n (x)=f(x) \end{eqnarray*}$

Hmm? Dass links ein n steht, passt nicht? Meinst du, dass wenn die Reihe konvergiert, f auch wirklich darstellt?

Zitat:

Original von hangman
Ich muss doch über das Integral integrieren was in der Aufgabe angegeben ist oder nicht? verwirrt

verwirrt

Ja, genau.

Zitat:

Original von hangman
Noch eine Frage, ist es eigentlich nicht viel einfacher eine Funktion mit Taylor zu approximieren? Die Fourier Reihe kommt mir ziemlich umständlich vor... verwirrt

verwirrt

Ja, das ist ziemlich umständlich. Die Fourierreihen haben Anwendungen in der Physik, aber auch ganz allgemein praktische: Mit ihnen kannst du (mittels einer Formel namens Parseval-Gleichung) zum Beispiel die Identität $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$ zeigen.

17.11.2011, 23:28

Cheftheoretiker

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Zitat:

Hmm? Dass links ein n steht, passt nicht? Meinst du, dass wenn die Reihe konvergiert, f auch wirklich darstellt?

Ja!

smile

vielen Dank für deine Mühe.

hangman! Wink

Wink

19.11.2011, 11:10

Cheftheoretiker

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RE: Fourierpolynom
Ich nochmal,

jetzt habe ich auch verstanden was du mit den Integrationsgrenzen von $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ meintest. Das ist ja das selbe wie meine Integrationsgrenze von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ Big Laugh

Big Laugh

1

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