Abbildungen (injektiv, surjektiv und bijektiv)

13.11.2011, 13:50

msb11

Abbildungen (injektiv, surjektiv und bijektiv)

Meine Frage:
hallo,
ich soll folgene abbildungen überprüfen, ob diese injektiv, surjektiv oder bijektiv sind und meine antwort begründen...
mir würde es schon reichen, wenn mir jemand des ganze am bsp a) erklären könnte - schonmal vielen dank im vorraus!

a) f: $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ : z |--> z³

b) g: $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ : z |--> |z|

c) h: $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ : z |--> i*z

Meine Ideen:
also ich hab mir schon überlegt, dass a) surjektiv ; b) weder noch ; c) bijektiv ist.

leider hab ich keine ahnung, wie ich dass beweisen / zeigen und meine antwort begründen soll, habe aber dennoch einen ansatz:

a) zu zeigen: f ist surjektiv
Annahme: f ist nicht surjektiv

Es gäbe also ein z $\begin{eqnarray*} \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , sodass für alle y $\begin{eqnarray*} \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ gilt: f(y) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ ?

z=a+bi daraus folgt a+bi $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ (a+bi)³

stimmt das?

13.11.2011, 20:11

msb11

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kennt sich da niemand aus? =(

wäre über alles was kommt sehr dankbar!

13.11.2011, 20:16

Leopold

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Die Art, wie du antwortest, läßt den Verdacht aufkommen, du hieltest "injektiv", "surjektiv", "bijektiv" für sich gegenseitig ausschließende Alternativen.

Bei a) mußt du dir überlegen, warum jede komplexe Zahl dritte Potenz einer komplexen Zahl ist. Ich bin fast überzeugt davon, daß ihr die Abbildung $\begin{eqnarray*} z \mapsto z^3 \end{eqnarray*}$ schon geometrisch studiert habt. Vielleicht in der Gestalt der Polarkoordinaten?

13.11.2011, 20:21

msb11

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hey, erstmal vielen dank für die antwort!

also ich weis, dass sich die verschiedenen "Fälle" nicht gegenseitig ausschließen:

also entweder es ist injektiv und nicht surjektiv --> injektiv ,
sujektiv und nicht injektiv --> surjektiv oder
surjektiv und injektiv --> bijektiv

richtig oder?

ja polarkoordinaten sagt mir was...

heist ich muss z(cos (phi) + i*sin(phi)) = (z(cos (phi) + i*sin(phi)))³ zeigen?

13.11.2011, 20:49

Leopold

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Zitat:

Original von msb11
also entweder es ist injektiv und nicht surjektiv --> injektiv ,
sujektiv und nicht injektiv --> surjektiv oder
surjektiv und injektiv --> bijektiv

Die Pfeile irritieren mich. Wenn du sie als Folgepfeile meinst, sind sie zwar richtig, aber überflüssig, jedenfalls in den ersten beiden Fällen. Denn sie schwächen ja die Voraussetzungen nur ab. verwirrt

Deine Schreibweise mit den Polarkoordinaten erscheint mir recht oberflächlich. Schreibe das einmal ordentlich auf. Verwende den Formel-Editor (siehe Werkzeuge rechts auf der Seite). Und natürlich muß es links ein anderer Winkel und ein anderer Radius sein als rechts.

13.11.2011, 20:58

msb11

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$\begin{eqnarray*} |z|\cdot((cos(\phi)+i\cdot \sin(\phi)) = ( |z|\cdot((cos(\gamma)+i\cdot \sin(\gamma)))³ \end{eqnarray*}$

13.11.2011, 21:12

Leopold

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Fast! Die linke Seite ist gegeben, die rechte gesucht. Links muß der Betrag ein anderer sein als rechts. Ich schreibe das einmal anders herum:

$\begin{eqnarray*} \left( s \left( \cos \gamma + \operatorname{i} \sin \gamma \right) \right)^3 = r \left( \cos \varphi + \operatorname{i} \sin \varphi \right) \end{eqnarray*}$

Hierbei sind $\begin{eqnarray*} r,s \end{eqnarray*}$ positive reelle Zahlen. (Der Fall $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ ist klar.) Jetzt gehe davon aus, $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ bekannt und $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ gesucht sind.

13.11.2011, 22:09

msb11

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ich komm grad nicht weiter.... ich werd mich morgen wieder an die aufgabe setzen! danke dir! ich poste dann morgen meine "lösung"

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