sigma-Algebra und Sigma-Ideal

13.11.2011, 14:03

Shalec

sigma-Algebra und Sigma-Ideal

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal A) \end{eqnarray*}$ ein messbarer Raum. Ein Mengensystem $\begin{eqnarray*} \mathcal N\subset\mathcal P(\Omega) \end{eqnarray*}$ heißt $\begin{eqnarray*} \sigma-Ideal \end{eqnarray*}$ , wenn

$\begin{eqnarray*} \emptyset\in\mathcal N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} N\in\mathcal N,\ M\subset N\ \Rightarrow\ M\in\mathcal N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (N_n)_{n\in\mathbb N} \in\mathcal N\ \Rightarrow\ \bigcup_n N_n\in\mathcal N \end{eqnarray*}$

Beweisen Sie, dass für jedes $\begin{eqnarray*} \sigma-Ideal\ \mathcal N \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal A\cup\mathcal N)=\{ A\triangle N\ :\ A\in\mathcal A,\ N\in\mathcal N\} = \{B\subset\Omega\ : \ \exists A\in\mathcal A,\ N\in\mathcal N\ :\ B\setminus N = A\setminus N \} \end{eqnarray*}$

So.. nun habe ich mir ein paar Gedanken gemacht..jedoch weiß ich nicht, was genau zu beweisen ist..

Mengentheoretisch besagt die Definition ja einiges..
$\begin{eqnarray*} N\setminus A \subset N\Rightarrow N\setminus A\in\mathcal N \end{eqnarray*}$ genauso $\begin{eqnarray*} N\setminus A = N\cap A^c \end{eqnarray*}$
Darüber lassen sich viele Elemente in dem $\begin{eqnarray*} \sigma-Ideal\ \mathcal N \end{eqnarray*}$ finden..

für die Vorschrift:
$\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal A\cup \mathcal N) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \emptyset,\ (\mathcal A\cup\mathcal N)\in\sigma(\mathcal A\cup\mathcal N) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A\cup N\in\sigma(\mathcal A\cup\mathcal N) \ \Rightarrow\ (A\cup N)^c=A^c\cap N^c \in\sigma(\mathcal A\cup\mathcal N) \end{eqnarray*}$
genauso: $\begin{eqnarray*} A_i\in\mathcal A,\ N_i\in\mathcal N\ \Rightarrow \bigcup A_i \cup \bigcup N_i \in\mathcal A \cup \mathcal N \in \sigma(\mathcal A\cup\mathcal N) \end{eqnarray*}$

Aber was genau muss ich wie am elegantesten zeiegn?

Vielen Dank und liebe Grüße :-)

Edit:\\
Ist mit $\begin{eqnarray*} A\triangle N \end{eqnarray*}$ als symmetrische Differenz? d.h. $\begin{eqnarray*} A\triangle N=A\setminus N\cup N\setminus A \end{eqnarray*}$

Falls dem so ist:
$\begin{eqnarray*} A\triangle N = A\setminus N \cup N\setminus A = (A\cap N^c)\cup (N\cap A^c) <br /> = (((A\setminus N)\cup (A\cap N))\cap N^c)\cup (((N\setminus A)\cup (N\cap A))\cap A^c) <br /> = ((A\setminus N)\cup (A\cap N)\cup (N\setminus A)\cup (N\cap A))\cap (N^c\cap A^c)<br /> = ((A\setminus N)\cup (A\cap N)\cup (N\setminus A)\cup (N\cap A))\cap (N\cup A)<br /> = ((A\setminus N)\cup (A\cap N))\cap (N\cup A) = A \end{eqnarray*}$

insofern keine Fehler begangen wurden :/

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