summe 1/k!

13.11.2011, 14:04

chi

summe 1/k!

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} x_{n}=1+\frac{1}{1!} +\frac{1}{2!} +...+\frac{1}{n!} = \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ Zeige:

(i) $\begin{eqnarray*} x_{n}= \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} \geq \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} x_{n}\geq e \end{eqnarray*}$

(ii) Für $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 2\leq m<n \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}>1+\frac{1}{1!} +\frac{1}{2!} \left(1-\frac{1}{n} \right)+\frac{1}{3!} \left(1-\frac{1}{n} \right)\left(1-\frac{2}{n} \right)+...+\frac{1}{m!}\left(1-\frac{1}{n} \right)\cdot \cdot \cdot \left(1-\frac{m-1}{n} \right)=x_{m} \end{eqnarray*}$

(iii) Folgere $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} e\geq x_{m} \end{eqnarray*}$ und schließe $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} x_{n}= e \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Nun die (i) sollte sich (wenn ich keine falschen Schlüsse gezogen habe) als sehr leicht erweisen:
Wir haben in einem anderen Blatt bereits bewiesen,dass
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \frac{1}{n^{k}}<\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ . Daher gilt: $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}=\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \frac{1}{n^{k}}\leq \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ . Somit müsste gelten: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} x_{n}\geq e \end{eqnarray*}$ .

Nun zu (ii): Es ist: $\begin{eqnarray*} x_{n}=1+\frac{1}{1!} +\frac{1}{2!} +...+\frac{1}{n!} > 1+\frac{1}{1!} +\frac{1}{2!} \underbrace{\left(1-\frac{1}{n} \right)}_{<1}+\frac{1}{3!} \underbrace{\left(1-\frac{1}{n} \right)}_{<1}\underbrace{\left(1-\frac{2}{n} \right)}_{<1}+...+\frac{1}{m!}\left(1-\frac{1}{n} \right)\cdot \cdot \cdot \left(1-\frac{m-1}{n} \right)=x_{m} \end{eqnarray*}$ Jetzt muss ich aber irgendwie zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} x_{n}= e \end{eqnarray*}$ , dann hätte ich die (ii) zu ende gelößt und die (iii) gleich mit.

13.11.2011, 14:39

chi

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RE: summe 1/k!

Zitat:

Original von chi

(ii) Für $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 2\leq m<n \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}>1+\frac{1}{1!} +\frac{1}{2!} \left(1-\frac{1}{n} \right)+\frac{1}{3!} \left(1-\frac{1}{n} \right)\left(1-\frac{2}{n} \right)+...+\frac{1}{m!}\left(1-\frac{1}{n} \right)\cdot \cdot \cdot \left(1-\frac{m-1}{n} \right)=x_{m} \end{eqnarray*}$

(iii) Folgere $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} e\geq x_{m} \end{eqnarray*}$ und schließe $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} x_{n}= e \end{eqnarray*}$

Also bei der (ii) habe ich die rechte Seite der Ungleichung selber als xm aufgefasst, stand so nicht in der Aufgabenstellung (sorry).
Bei der (iii) stimmts aber.

13.11.2011, 15:41

chi

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RE: summe 1/k!
Bin jetzt leider mit dem xm selber verwirrt, weiß nicht genau worauf sich dieses bezieht, könnte einer helfen?

13.11.2011, 18:38

chi

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RE: summe 1/k!
brauch eigentlich nur etwas Hilfe bei dieser Abschätzung :
$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}=\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \frac{1}{n^{k}}>1+\frac{1}{1!} +\frac{1}{2!} \left(1-\frac{1}{n} \right)+\frac{1}{3!} \left(1-\frac{1}{n} \right)\left(1-\frac{2}{n} \right)+...+\frac{1}{m!}\left(1-\frac{1}{n} \right)\cdot \cdot \cdot \left(1-\frac{m-1}{n} \right) \end{eqnarray*}$ .
Das mit dem xm von vorhin war Blödsinn, ich weiß nun, dass es sich um $\begin{eqnarray*} x_{m}=\sum\limits_{k=0}^m \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ handelt. Den Rest schaffe ich nun auch allein.
Danke

13.11.2011, 19:07

chi

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RE: summe 1/k!
Oder könnte mir einer bei dieser Abschätzung helfen, dann hätte es sich mit obiger Abschätzung geklärt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \frac{1}{n^{k}} \geq \frac{1}{k!}\prod\limits_{i=0}^k (1+\frac{i-1}{n}) \end{eqnarray*}$

edit: wie ich auf diese Abschätzung gekommen bin ist einfach:

habe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \frac{1}{n^{k}} \geq \sum\limits_{k=0}^m \frac{1}{k!}\prod\limits_{i=0}^k (1+\frac{i-1}{n}) \end{eqnarray*}$ betrachtet

13.11.2011, 20:21

chi

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RE: summe 1/k!
habs geschafft smile

13.11.2011, 21:05

chi

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RE: summe 1/k!
war wohl doch etwas zu voreilig, wie zeige ich das $\begin{eqnarray*} e\geq x_{m} \end{eqnarray*}$
also das ist ne frage zur (iii), die (ii) und die (i) hab ich schon fertig.
edit: Bei der (ii) hab ich herausgefunden, dass sogar gilt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \frac{1}{n^{k}} = \sum\limits_{k=0}^m \frac{1}{k!}\prod\limits_{i=0}^k (1+\frac{i-1}{n}) \end{eqnarray*}$ . Hab den bin. expandiert und das Produkt aufgelößt. Ist alles schon im Heft

13.11.2011, 21:19

loop_

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Kannst du mir mal genau sagen, wie du die ii gelöst hast o.O?

13.11.2011, 21:22

chi

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summe 1/k!
Bei der (ii) hab ich herausgefunden, dass sogar gilt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \frac{1}{n^{k}} = \sum\limits_{k=0}^m \frac{1}{k!}\prod\limits_{i=0}^k (1+\frac{i-1}{n}) \end{eqnarray*}$ . Hab den bin. expandiert und das Produkt aufgelößt.

13.11.2011, 21:27

loop_

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Ja das habe ich schon gelesen ^^ Doch wie kommt man darauf? Und was heißt expandiert?

13.11.2011, 21:29

chi

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summe 1/k!
weißt doch bestimmt wie n über k definiert ist n!/k!(n-k)!

13.11.2011, 21:30

loop_

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Ja das weiß ich ^^ Und das kann man zu deinem umschreiben? Okay, doch was bringt es mir. Ich beweise ja damit nicht, dass es größer ist, als der Rechte Term der Ungleichung bei ii

13.11.2011, 21:32

chi

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summe 1/k!
Zeig es erst hiermit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \frac{1}{n^{k}} \geq \frac{1}{k!}\prod\limits_{i=0}^k (1+\frac{i-1}{n}) \end{eqnarray*}$

Dann mit den Summen

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