Basis finden |
| 13.11.2011, 14:30 | Physikstudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Basis finden Hallo : ) Ich soll eine Basis für einen Unterraum U finden der definiert ist durch {(v1,v2,v3)element von Q3: 2v1+3*v2=v3} Ich weiss, dass die Vektoren der Basis linear unabhängig sein müssen und Element von U, aber wie soll es eine Basis geben wenn sich v3 schon durch v1 und v2 dastellen lässt? Ich bin verwirrt und weiss nicht wie ich vorgehen soll. Meine Ideen: Ich hatte überlegt v1, v2 und v3 in abhängigkeit der anderen dazustellen und daraus dann eine gleichung der Art Summe ai*xi von i=1 bis n=3 gleich 0 zubilden aber.. wirklich weiter bringt mich der Gedankengang noch nicht. |
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| 13.11.2011, 14:35 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Basis finden Vielleicht siehst du es leichter, wenn du v3 wirklich mal so hinschreibst. Ein beliebiges u aus U hat die Form Zieh den Vektor mal auseinander, so dass in jedem Vektor nur noch eine Variable auftaucht. Dann hast du die Basis schon fast da stehen. Wie schaut's denn mit der Dimension aus? Siehst du diese schon? Was betrachten wir hier eigentlich? Den Q-Vektorraum Q³? Oder wovon soll U ein Unterraum sein? |
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| 13.11.2011, 14:42 | Physikstudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah stimmt, das hatte ich vergessen. Ja, es handelt sich um einen Q-Vektorraum Q3, und U ist ein Untervektorraum davon. Also auch drei Dimensionen, das heisst auch, dasses drei Basenelemente gibt richtig? Und dann in der Form u die du demonstriert hast, soweit habe ich das verstanden. Aber um drei verschiedene Basenelemente auf Lineare Unabhängigkeit zu prüfen, brauch ich erstmal drei. Vielleicht steh ich einfach auf dem Schlauch? :| |
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| 13.11.2011, 14:44 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Q³ als Q-Vektorraum hat die Dimension 3, das heißt aber noch lange nicht, dass U auch die Dimension 3 hat. Die Dimension eines Unterraums kann durchaus kleiner sein. |
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| 13.11.2011, 14:57 | Physikstudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber da die (v1,v2,v3) element aus Q3 ist, muss doch auch U dreidimensional sein oder? |
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| 13.11.2011, 14:58 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was ist denn das jetzt für eine Begründung? Elemente aus U haben nicht die Form (v1,v2,v3), sondern eine ganz andere. Welche, habe ich in meinem ersten Beitrag geschrieben. Was sagt denn der Begriff "Dimension" eigentlich aus? Ich habe den Eindruck, es scheitert hier mal wieder an der Kenntnis von Definitionen. |
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| 13.11.2011, 15:35 | Physikstudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Dimensionsbegriff sagt in diesem Fall doch etwas darüber aus inwieviele Richtungen sich mein Vektor bewegen kann. Eigentlich ist bei Vektorräumen der Begriff über die Basen definiert, über die maximale Anzahl von unabhängigen Vektoren. Anzahl der Basenelemente = Anzahl der Dimensionen also. Aber das hilft mir hier ja nicht weiter. Anschaulich kann sich mein Vektor in drei Richtungen bewegen. Aber ich sehe hier, dass der v3 Wert U nach der Form u die du in deinem ersten Beitrag dagestellt hast abhängig ist von v1 und v2. Heisst das denn dann das U 2 Dimensional ist? |
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| 13.11.2011, 15:39 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So ist es. Die Dimension entspricht der Anzahl der Elemente einer Basis.
Genau das heißt es. Den ganzen Kram mit der Richtung vergiss mal wieder. So ein Vektor im dreidimensionalen kann doch unendlich viele "Richtungen" haben, wie kommst du gerade auf 3? Und inwiefern soll das mit der Dimension zusammen hängen? Da kann ich dir nicht folgen. |
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| 13.11.2011, 15:40 | Physikstudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach ich verstehe. Die Elemente v1,v2,v3 aus U sind ja selber dreidimensionale Vektoren mit elementen aus Q. Das ist es ja was (v1,v2,v3) in der definition von U aussagt, oder? Das heisst, dass in U v3 ein linear abhängiger Vektor ist und somit zu der Ebene gehört die durch v1 und v2 aufgespannt wird. U ist also eine Ebene. Oder vertue ich mich da. |
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| 13.11.2011, 15:43 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, du verstehst nicht. v1,v2 und v3 sind Elemente aus Q, also einfach rationale Zahlen, und bilden die Einträge eines Elementes (Vektors) des Q³. |
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| 13.11.2011, 15:51 | Physikstudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh okai. Dann verstehe ich es wirklich nicht. Danke übrigens schonmal, dass du mir überhaupt helfen willst und tut mir Leid wenn ich so sehr auf dem Schlauch stehe. Also das Problem ist nur, angenommen ich nehme mal für ein Beispiel Skalare aus Q und bilde mir so einen Vektor (v1,v2,v3), sagen wir V=(1,2,8) dann wäre dieser Vektor V ein Element von U weil er die Bedingung erfüllt. Gut. Angenommen ich will diesen Vektor nun in ein Koordinatensystem eintragen, nehme ich doch Bezug auf 3 Achsen. Klappt dieses Koordinatensystemdenken nicht? Wenn das der Fall ist, wie kann ich es mir denn besser vorstellen? |
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| 13.11.2011, 16:00 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hör auf, dir in der linearen Algebra alles vorstellen zu wollen. Als Physiker neigt man dazu, klar, aber was machst du denn, wenn du im Q^4 oder im Q^(100) oder im Q^n bist? Wenn wir im R³ sind, DANN könnte ein zweidimensionaler Unterraum als Ebene aufgefasst werden, ja. Weil er dann von zwei "Richtungs-)Vektoren erzeugt werden würde, und diese würden dann eine Ebene aufspannen. Aber im Q³ finde ich das problematisch, wie will man sich das vorstellen? Trotzdem empfehle ich, den Begriff des Vektorraums ganz abstrakt zu bearbeiten. Schon steht die Basis da. |
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| 13.11.2011, 16:06 | Physikstudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Uff. Okai. Ich schätze dann weiss ich in etwa was das Problem bisher ist. Und das auseinanderziehen der Vektoren leuchtet jetzt wo ich es sehe ein. Vielen dank für deine Hilfe, es hat wirklich einiges geholfen. Ich wünsche noch einen schönen Tag soweit : ) |
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