Abelsche Gruppen |
13.11.2011, 14:33 | Dumdidum1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Abelsche Gruppen Aufgabe: In welchen der folgenden Fälle handelt es sich um abelsche Gruppen (d.h A1-A4 bzw. die Körperaxiome sind erfüllt?? a) , wobei + die gewöhnliche Addition auf den natürlichen Zahlen ist b) , wobei - die gewöhnliche Subtraktion auf den ganzen Zahlen ist Ich weiß nun, dass die Körperaxiome angewandt werden müssen, allerdings weiß ich nicht genau, wie ich das formal darstellen soll. Meine Idee zu a) : reicht es zu schreiben, z.B. für A1(Assoziativität der Addition) für A2 analog für A3 (Nullelement) für A4 analog Meine "Idee" zu b): Kann das überhaupt eine abelsche Gruppe sein, es ist doch keine additive Gruppe, oder? Bzw. wie kann ich zeigen, dass es keine abelsche Gruppe ist?? |
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13.11.2011, 15:07 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Gruppe muss auch für jedes Element ein sogenanntes Inverses besitzen, sodass gilt. Dann ist das bzgl. Inverse zu , wenn man mit das Nullelement bezeichnet. Prüfe mal die Existenz. |
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13.11.2011, 18:12 | Dumdidum1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, kann ich für das Inverse dann den Beweis so anfürhren, zu : mit ist ein Inverses Element zu y bezüglich + es gibt ein , so dass gilt so habe ich doch gezeigt, dass es zu einem mindestens ein : und n ist das neutrale Element. Aber wie mache ich das bei b)?? |
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13.11.2011, 19:13 | All_That_Remains | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ist denn das neutrale Element von ? Das lässt sich nämlich explizit angeben ... |
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13.11.2011, 20:05 | Dumdidum1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Nullelement, also 0! Oder nicht? |
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13.11.2011, 20:48 | All_That_Remains | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau, das neutrale Element ist 0.
Wenn n das neutrale Element sein soll, dann setz mal n = 0 und überprüfe die obige Aussage nochmal ... |
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13.11.2011, 22:36 | Dumdidum1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dann wäre die Aussage: , dann ist dieses Körperaxiom nicht erfüllt und es ist keine abelsche Gruppe, stimmt das so? Vielen Dank! Bzw. wenn ich in den Beweis oben für n=0 einsetzte bekomme ich doch auch x' als Lösung, dann wäre der Beweis für ein inverses Element doch gegeben. ODer bin ich jetzt total falsch?!?! Sorry, bin etwas verwirrt... |
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14.11.2011, 20:08 | All_That_Remains | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Am einfachsten hilft hier wahrscheinlich ein Zahlenbeispiel. Nimm zum Beispiel einfach mal die 5 und versuche dazu ein inverses Element b zu bestimmen, so dass gilt: 5 + b = 0. (mit b aus ) Wenn eine Gruppe ist, müsste das ja gehen. |
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