Division mit Rest

13.11.2011, 14:40

grafzahl123

Division mit Rest

Meine Frage:
a) welche divisionsreste können auftreten, wenn man eine ungerade natürliche zahl u mit 8 teilt?
b) folgern sie aus a): das quadrat einer ungeraden natürlichen zahl u lässt bei division durch 8 den divisionsrest 8
c) notieren sie ihre erkenntnisse aus a) und b) in kongruenzen modulo 8

Meine Ideen:
also, hauptsächlich gehts um c)
bei a) gibt es ja die divisionsreste 1;3;5 und 7
und daraus kann man für b) folgern, dass es bei (2n-1)^2 nur den rest 1 gibt (weil die anderen divisionsreste quadriert immer durch 8 mit rest 1 teilbar sind)
kann ich dann bei c) folgendes schreiben?
$\begin{eqnarray*} 2n-1\equiv (2n-1)^2 \end{eqnarray*}$ mod 8
weil beide ja den divisionsrest 1 haben, aber (2n-1) auch noch die reste 3;5 und 7. ist das trotzdem richtig?

13.11.2011, 14:48

galoisseinbruder

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Zeig mir eine Zahl $\begin{eqnarray*} u \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u^2=3 \mod 8 \end{eqnarray*}$ .

13.11.2011, 17:35

grafzahl123

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gibts nicht

13.11.2011, 17:35

galoisseinbruder

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Was sagt uns dass aber deine Antwort zur a)?

13.11.2011, 17:40

grafzahl123

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aber das hab ich ja auch geschrieben:
u^2 mod 8 hat immer den divisionsrest 1 und u kann vier verschiedene divisionsreste habe (1,3,5,7)
aber wie kann ich dann die ergebnise aus a) und b) in kongruenzen mod 8 notieren?

13.11.2011, 17:47

galoisseinbruder

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Bin wohl zu unfähig zum lesen.
Was willst Du denn damit $\begin{eqnarray*} 2n-1\equiv (2n-1)^2 \mod 8 \end{eqnarray*}$ genau ausdrücken.
Deine Erkenntnis ist doch wohl eher $\begin{eqnarray*} x\equiv x^2 \mod 8 \Rightarrow x\equiv 1 \mod 8 \end{eqnarray*}$

13.11.2011, 17:58

grafzahl123

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bei mir sollte x, bzw. u:=2n-1 $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ (also eine ungerade zahl ) sein. und dementsprechend u^2:=(2n-1)^2

aber deine aussage $\begin{eqnarray*} x\equiv 1mod8 \end{eqnarray*}$ is ja auch nich richtig, weil z.b.
$\begin{eqnarray*} 3\equiv 1 \end{eqnarray*}$ mod 8 ja auch nicht gilt.

ich verstehe nicht, wie ich 2 zahlen in kongruenzen mod 8 schreiben soll, wenn sie verschiedene divisionsreste haben.

13.11.2011, 18:02

galoisseinbruder

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Es sollte ja auch $\begin{eqnarray*} x^2\equiv 1 \mod 8 \end{eqnarray*}$ heißen.

Zitat:

ich verstehe nicht, wie ich 2 zahlen in kongruenzen mod 8 schreiben soll, wenn sie verschiedene divisionsreste haben.

Das würde ich so notieren x ungerade $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \equiv 1,3,5,7 \mod 8 \end{eqnarray*}$

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