Funktion auf IN die surjektiv aber nicht injektiv ist

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Chrilo Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion auf IN die surjektiv aber nicht injektiv ist
Meine Frage:
Hallo

Ich habe eine Aufgabe in meinem Übungsblatt wo ich nicht weiterkomme:

Geben Sie eine Funktion an, die surjektiv aber nicht injektiv ist.

Bei uns gehört die 0 nicht zu den Natürlichen Zahlen.

Meine Ideen:
Ich habe mir überlegt, dass f(x):|x-3| sein könnte wobei im Definitionsbereich die 3 Ausgeschlossen wäre.

Im Board habe ich den Vorschlag f(x):|x-1| gesehen.
Das macht aber für mich keinen Sinn, da diese Funktion auch die Eigenschaften der injektivität erfüllt.

Oder lieg ich da falsch?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion auf IN die surjektiv aber nicht injektiv ist
Zitat:
Original von Chrilo
Meine Ideen:
Ich habe mir überlegt, dass f(x):|x-3| sein könnte wobei im Definitionsbereich die 3 Ausgeschlossen wäre.

Das wäre dann aber keine Abbildung von N nach N, sondern eine von N\{3} nach N. Aber das ist ja nicht die Aufgabe, oder? Augenzwinkern

Ändere deinen Vorschlag noch geringfügig ab, dann passt es.
Chrilo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok da geb ich dir recht.

Mein neuer Vorschlag wäre dann:

f(x):|x-3|+1

Somit brauche ich keine Zahl auszuschließen und die 2 & 3 kommen doppelt vor
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Einverstanden. Freude
Chrilo Auf diesen Beitrag antworten »

Super!

Vielen Dank Tanzen
Chrilo Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei mir jetzt noch einfällt das ich das ganze auch noch beweisen muss... verwirrt

Also muss für f(x):|x-3|+1 zeigen das dies Surjektiv ist (Injektiv habe ich selbst geschafft)

Kann ich f(x)=y setzen und mir dann für y eine Zahl in IN überlegen und dann x Auflösen?
Wobei ich dann wieder ein Problem weil ich keinen Plan hab wie ich die Betragsstriche aufgelöst bekomme unglücklich

Hat jemand eine Hilfe bzw ne andere Idee?
 
 
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft es dir, die Definition des Betrags zu nutzen:



Das ist ja letztlich deine Abbildung, nur anders geschrieben. Die n-2 kannst du benutzen, um ein Urbild anzugeben.
Chrilo Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, aber das hilft mir leider nicht weiter. Was du meinst, ist folgendes, oder?

|x-3| ist >=0, wenn x>=3 ist und |x-3| ist <0, wenn x<3 ist.

Aber was fange ich mit der Info an?
rslz Auf diesen Beitrag antworten »

o.O der Betrag einer Zahl ist nie kleiner als 0.

Es gibt noch einen vieeeeeeel einfacherern Weg, so eine Funktion zu definieren.
Definiere sie einfach über Intervalle.

Beispiel:


ist surjektiv, aber nicht injektiv
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Chrilo
Aber was fange ich mit der Info an?

Hab ich schon gesagt: Ein Urbild angeben. Sei also y ein beliebiges Element aus dem Bild. Gib dazu ein Urbild an. Das ist ein Einzeiler. Es schadet sonst auch nicht, mal ein wenig länger als 5 Minuten darüber nachzudenken.

@rlsz: Bei Chrilo ist aber . Dein Beispiel ist in der Form also wertlos.
Chrilo Auf diesen Beitrag antworten »

Mmhh..ich komm damit leider echt net weiter und ich sitze schon seit einigen Stunden darüber.
Ich nehme mal ein beispielhaftes Urbild.
f^-1(2)={4;2}

aber ich hab keine Ahnung, wie mir das weiterhilft. Vlt. sitze ich auch einfach schon zu lange davor...
rslz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
@rlsz: Bei Chrilo ist aber . Dein Beispiel ist in der Form also wertlos.


Ach ja immer diese Definitionssachen. Aber gleich zu sagen, das Beispiel ist wertlos finde ich übertrieben. Schließlich muss man nur drei der Ziffern um eins inkrementieren, damit es wieder passt.
Das kriegt Chrilo aber auch alleine hin...
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rslz
Das kriegt Chrilo aber auch alleine hin...

Hat er doch schon längst. Sein Beispiel ist doch völlig in Ordnung. Das ist nichts besser oder schlechter als deins.

@Chrilo, du sollst nicht für 2 ein Urbild angeben, sondern für ein beliebiges Element. Mach das, was du jetzt gemacht hast, nochmal für ein y allgemein und das war es schon.
Chrilo Auf diesen Beitrag antworten »

also f^-1(y)={x} oder f^-1(y) {leere Menge}

Wenn das immernoch falsch ist/mich nicht weiterbringt, muss ich aufgeben
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das das erste Mal, dass du Surjektivität nachweisen musst? Du musst doch nur zeigen, dass jedes Element aus dem Bild ein Urbild hat.

Dafür hatte ich dir deine Betragssabbildung etwas umgeschrieben:



Der erste Teil, die 4-n sind hier gar nicht wichtig. Damit sorgen wir nur dafür, dass auch die 1 und die 2 korrekt abgebildet werden. Damit machen wir die Injektivität kaputt, das verlangt ja die Aufgabenstellung. Der zweite Teil, die n-2, die sind jetzt entscheidend.

Die 2 hat zum Beispiel das Urbild 4, denn 4 wird von f auf 2 abgebildet. Die 4 hat das Urbild 6. Die 6 hat das Urbild 8. Die 19998 hat das Urbild 20000.

Welches Urbild hat nun y allgemein? Wie wäre es mit y+2? Denn f(y+2)=(y+2)-2=y.

Mehr ist doch gar nicht zu tun.
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