unendliche Vereinigung einer Fahne von sigma-Algebren

13.11.2011, 15:59

Shalec

unendliche Vereinigung einer Fahne von sigma-Algebren

Folgende Frage:

Seien $\begin{eqnarray*} \mathcal A_1\subset\mathcal A_2\subset... \end{eqnarray*}$ eine Aufsteige Folge von $\begin{eqnarray*} \sigma- \end{eqnarray*}$ Algebren auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} \mathcal A_i \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \sigma- \end{eqnarray*}$ Algebra für $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

ich dachte mir dazu:
$\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i = A_{max(i)} \end{eqnarray*}$ und das ist per Forderung bereits eine $\begin{eqnarray*} \sigma- \end{eqnarray*}$ Algebra.

währen diese Algebren nun keine Fahne, so würde ich ein Gegenbespiel für den Fall einer Vereinigung von 2 Algebren haben..

also... wo ist hier egtl. die Aufgabe versteckt? Übersehe ich was?!

im Aufgabentext steht halt:

$\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\mathcal A_n \end{eqnarray*}$ aber ich denke, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal A_n \end{eqnarray*}$ ein schreibfehler ist, alternativ wäre hier die Vereinigung gleich dem einzelnen Element und damit per Definition wieder eine Algebra...

Liebe Grüße und vielen Dank!

Edit:\\
Bevor mir klagen kommen :-)
Eine Fahne ist für Vektorräume definiert, klar - aber hier hat es die Schreibarbeit gespart im Titel.

13.11.2011, 16:21

speedyschmidt

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RE: unendliche Vereinigung einer Fahne von sigma-Algebren
Aha, jetzt weiß ich endlich was eine Fahne ist. Was es nicht alles gibt Big Laugh

Zitat:

ich dachte mir dazu:
$\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i = A_{max(i)} \end{eqnarray*}$ und das ist per Forderung bereits eine $\begin{eqnarray*} \sigma- \end{eqnarray*}$ Algebra.

Was auch immer Du hier machst, ist ein wenig dürftig. Ich denke $\begin{eqnarray*} A_i \in \mathcal A_i \end{eqnarray*}$ soll gelten, richtig? Dann versteh ich nicht, was Du mit $\begin{eqnarray*} A_{max(i)} \end{eqnarray*}$ meinst. Die Indexmenge ist doch $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , d.h. da steht dann $\begin{eqnarray*} A_{\infty} \end{eqnarray*}$

Geh einfach die Axiome einer $\begin{eqnarray*} \sigma-\text{Algebra} \end{eqnarray*}$ durch. Dann geht das ganz leicht smile

. Vielleicht hast Du das auch schon gemacht, aber Deinem Text ist das echt nicht zu entnehmen Augenzwinkern

.

Edit: ich glaub, ich weiß jetzt, was Du mit max(i) meinst. Das aber max(i) zu nennen ist sehr verwirrend. nenn es min(i) oder n(i) oder sonstwie. Schließlich meinst Du (hoffentlich) den minimalen Index, in dem A_i liegt

13.11.2011, 16:28

Shalec

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offensichtlich habe ich mich da oben etwas verschrieben ^^

Denn es soll:

$\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i=1}^\infty \mathcal A_i \end{eqnarray*}$ sein.. und damit eben gerade meiner Zeile entsprechen.. ^^

und $\begin{eqnarray*} \mathcal A_{max(i)} \end{eqnarray*}$ ist einfach das größte jener algebren, sodass alle anderen darin enthalten sind.

Ist natürlich
$\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} A_i\in\mathcal A_i \end{eqnarray*}$ gefragt, so ist dies keine sigma algebra?!
Angenommen wir haben P(IN) als algebra, dann ist z.B. die Vereinigung von {{1}} u {{1,2}} keine algebra. erfüllt ja direkt die forderung und sind ja auch jeweils Teilmengen einer Sigma-Algebra. {{1}} ist schon eine sigma-Algebra,{{1},{2},{1,2}} ebenso.. damit die aufsteigende Folge definiert, die Vereinigung hat aber n widerspruch..........

Big Laugh

13.11.2011, 16:51

speedyschmidt

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Oh, jetzt hab ich Dich doch tatsächlich in die falsche Richtung geführt. $\begin{eqnarray*} A_i \in \bigcup A_n \end{eqnarray*}$ soll's heißen!

Dann ist $\begin{eqnarray*} A_i \in \mathcal A_{max(i)} \end{eqnarray*}$ , also ?

14.11.2011, 13:43

#Shalec

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ich sehe es immer noch nicht worauf du hinaus willst. da per forderung $\begin{eqnarray*} \mathcal A_i \end{eqnarray*}$ eine sigma Algebra ist, für alle i,ist diese Vereinigung auch eine,da die größte sigma Algebra die vorhergehenden beinhaltet und diese Vereinigung gleich der größten ist.

14.11.2011, 15:48

Shalec

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Zitat:

Original von speedyschmidt
Oh, jetzt hab ich Dich doch tatsächlich in die falsche Richtung geführt. $\begin{eqnarray*} A_i \in \bigcup A_n \end{eqnarray*}$ soll's heißen!

Dann ist $\begin{eqnarray*} A_i \in \mathcal A_{max(i)} \end{eqnarray*}$ , also ?

Um das nochmal richtig zu stellen, in der Aufgabenstellung wurde kein $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ definiert. Es bei jedem von mir geschriebenen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ handelt es sich um $\begin{eqnarray*} \mathcal A \end{eqnarray*}$ , also um eine Sigma-Algebra.

Aber nach meinem Stand gilt für jedes $\begin{eqnarray*} A_i\in\bigcup \mathcal A_i \end{eqnarray*}$ eben genau alle eigenschaften einer sigma-algebra ^^

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