0<xm-xn<1/nn!

13.11.2011, 16:18

chi

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0<xm-xn<1/nn!

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} x_{n}=1+\frac{1}{1!} +\frac{1}{2!} +...+\frac{1}{n!} = \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ Zeige, dass:
für $\begin{eqnarray*} m > n \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} 0< x_{m}-x_{n}<\frac{1}{n!n} \end{eqnarray*}$
Wo wir dabei sind. Wir sollen e auf 10^-3 nachkommastellen genau berechnen. Wir haben e def. als
$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n} \end{eqnarray*}$ . Nur wie groß muss n gewählt werden?

Meine Ideen:
Zu 1) Naja hab es mit Teleskopsummen probiert, hat irgendwie nicht geholfen. Hat einer ne Idee?

13.11.2011, 16:39

Mike@DE

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Es ist für konkrete Rechnungen oft praktisch zu wissen, dass sich exp(x) als unendliche Summe
1+ (x/1) + ^(x2/1·2)+ (x3/1·2·3)+...

schreiben lässt. Durch Einsetzen von x = 1 erhält man
e = 1+ (1/1)+ (1/1·2)+(1/1·2·3)+....

Da die Nenner in dieser Summe sehr schnell sehr groß werden, kann man mit relativ wenigen Summanden e schon recht gut bestimmen.

13.11.2011, 21:13

chi

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0<xm-xn<1/nn!
Nun zu 2)
die Zahl e hat unendlich Stellen hintern komma. Wie viele Stellen hinterm komma müsste man berechnen um e auf 1/1000 genau genau zu berechnen.

Zu 1) hat keiner ne Idee wie ich vorgehen könnte?
edit: wie bereits gesagt, haben mich Teleskopsummen irgendwie nicht weitergebracht, gibts hier andere Möglichkeiten?

13.11.2011, 22:40

chi

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RE: 0<xm-xn<1/nn!
Nach langen überlegungen, und nach langem abschätzen nach oben, bin ich auf folgendes gekommen:
$\begin{eqnarray*} \frac{-2^{n}+2^{m}}{2^{m+n+1}} < \frac{1}{n!n} \end{eqnarray*}$ . Komme nicht so ganz weiter, kann einer helfen?
EDIT: das war zu 1)

13.11.2011, 22:46

galoisseinbruder

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Wo hast Du denn die 2`er her?
Schreib mal $\begin{eqnarray*} x_m-x_n \end{eqnarray*}$ hin.

13.11.2011, 22:50

chi

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0<xm-xn<1/nn!
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)!}+...+\frac{1}{(m)!} \end{eqnarray*}$
weiter?

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13.11.2011, 22:52

galoisseinbruder

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In Summenschreibweise bitte, da sieht man mehr. Man kann hier z.B. was ausklammern.

13.11.2011, 22:53

chi

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0<xm-xn<1/nn!
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^m \frac{1}{k!} -\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!}=\sum\limits_{k=n+1}^m \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

13.11.2011, 22:57

galoisseinbruder

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Gut. Ausklammern, dann abschätzen, so dass wir das m loswerden. (m kann ja beliebig groß werden.)

13.11.2011, 22:57

chi

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RE: 0<xm-xn<1/nn!
was meinst du mit ausklammern

13.11.2011, 22:59

chi

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RE: 0<xm-xn<1/nn!
wir kriegen hier doch höchstens das n weg, da m größer ist

13.11.2011, 23:01

galoisseinbruder

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Jeder Summand hat einen Faktor gemein.
Das n kriegen wir nicht weg, müssen wir auch nicht, dass ist ja im Gegensatz zu m fest.
Das Stichwort ist hier übrigens geometrische Reihe.

13.11.2011, 23:02

chi

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RE: 0<xm-xn<1/nn!
$\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{k=0}^m -\sum\limits_{k=0}^n) \frac{1}{k!}=\sum\limits_{k=n+1}^m \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

13.11.2011, 23:05

chi

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RE: 0<xm-xn<1/nn!
bist du dir sicher, die geometrische reihe verlangt doch, dass k im exponenten steht
edit: in unserem Fall ist der Exponent immer der selbe

13.11.2011, 23:08

galoisseinbruder

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Du kannst Doch kein Summenzeichen ausklammern. Leider weiß ich nicht wer das Summenzeichen erfunden hat jedenfalls dreht sich er (die wahrscheinlichkeit dass er eine sie ist ist doch sehr gering) wohl grade im Grab um.
Vielleicht siehst Du´s hier besser:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)!}+...+\frac{1}{(m)!} \end{eqnarray*}$

Edit: Wenn Du Deine Postinggeschwindigkeit etwas senkst, haben wir beide etwas mehr Zeit zum Denken. Und ja ich weiß worauf ich hier raus will.

13.11.2011, 23:14

chi

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0<xm-xn<1/nn!
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n!} \sum\limits_{k=n+1}^m \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ meinst du das so mit dem ausklammern?

13.11.2011, 23:21

chi

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RE: 0<xm-xn<1/nn!
so ist die geometrische reihe allerdings immer noch nicht sichtbar

13.11.2011, 23:21

galoisseinbruder

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Du meinst das richtige, schreibst es aber falsch(was nachvollziehbar ist da ziemlich blöd aufzuschreiben.)Richtig ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)!} \sum\limits_{k=n+1}^m \frac{(n+1)!}{k!}=\frac{1}{(n+1)!}\left( 1+ \frac{1}{k+2}+\frac{1}{(k+2)(k+3)}+\ldots + \frac{1}{(k+2)\cdots m}\right) \end{eqnarray*}$ .
Jetzt die Summe/den Klammerterm durch eine geometrische Reihe abschätzen.

13.11.2011, 23:30

loop_

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Kann mir mal einer sagen, wie das mit dem Abschätzen funktioniert? War jetzt 2 Wochen nicht in der Uni (Probleme über Probleme) und nun kommt immer wieder dieses abschätzen vor.

13.11.2011, 23:46

galoisseinbruder

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Vielleicht noch ein kleiner Hinweis:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(k+2)(k+3)} < \frac{1}{(k+2)^2} \end{eqnarray*}$

@loop_ Ich finde es unhöflich mitten im Thread eines Anderen einfach so dazwischenzufragen.
Ich zitiere mich mal selbst:

Zitat:

Zum generellen Abschätzen: Es gibt keine kurze Anleitung (wenn jemand eine hat, die will ich lesen). Es gibt sehr sehr viele Abschätzungen (Ungleichungen) manche allgemeiner manche spezieller. Im Laufe des Studiums wirst Du immer mehr davon kennenlernen und merken wenn man welche verwenden kann.

14.11.2011, 00:22

galoisseinbruder

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Protestiert doch bitte mal jemand, dass ich hier Blödsinn geschrieben hab.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)!} \sum\limits_{k=n+1}^m \frac{(n+1)!}{k!}=\frac{1}{(n+1)!}\left( 1+ \frac{1}{k+2}+\frac{1}{(k+2)(k+3)}+\ldots + \frac{1}{(k+2)\cdots m}\right) \end{eqnarray*}$ .

Rechts ist gar kein k mehr definiert ist muss natürlich so heißen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)!} \sum\limits_{k=n+1}^m \frac{(n+1)!}{k!}=\frac{1}{(n+1)!}\left( 1+ \frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\ldots + \frac{1}{(n+2)\cdots m}\right) \end{eqnarray*}$ .

Dementsprechend will ich die geometrische Reihe auch in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$ (oder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ )haben.

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