Klein'sche Vierergruppe, Isomorphie

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Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »
Klein'sche Vierergruppe, Isomorphie
Hallo ihr lieben Forumler,

Ich soll zeigen, dass die kleinsche Vierergruppe und Z/4Z nicht isomorph sind. Nur weiß ich leider nicht wie ich das mache,...
Also Isomorphismus ist ja wenn:
f bijektiv ist und gilt f(aob)=f(a) o f(b)
Aber wie kann ich das zeigen?

Genauer hab ich folgende Aufgabe:
[attach]21899[/attach]

Die b und c hab ich hinbekommen nur bei der a und d hapert es noch ziemlich. Ich weiß leider garnicht wie ich vorgehen kann...

Bitte dringlich um eure Hilfe
Vielen Dank für eure Mühen schonmal
Die allerliebsten Grüße
Hanna
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klein'sche Vierergruppe, Isomorphie
Ein Tipp steht ja schon da: Tabelle! Dort solltest du auch fündig werden, was Elementeigenschaften betrifft, mit denen man zeigen kann, dass die Gruppen nicht isomorph sind.
 
 
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klein'sche Vierergruppe, Isomorphie
Sowohl für die a als auch d?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klein'sche Vierergruppe, Isomorphie
Generell. Bei der (a) gilt es die Untergruppenkriterien zu prüfen.
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klein'sche Vierergruppe, Isomorphie
Mein Problem ist grundsätzlich, dass ich nciht weiß wie ich Isomorphie nachweisen soll,...
Also die Verknüpfungstafeln bekomme ich hin, klar, aber ich weiß nicht woran ich dann erkennen kann das die Gruppen isomorph sind.
Desweiteren bei der a) Würde es reichen das ich eine Verknüpfungstafel für s4 mache und auch für U beispielsweise, dann sieht man ja sozusagen das das eine eine untergruppe des anderen, sprich U + e = s4 wenn man das so aufschrieben darf ;-)

Bei der d ja wie gesagt, keine ahnung wie ich isomorphie nachweisen kann,.. leider,...

Vielen Dank nochmal für deine Antwort!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klein'sche Vierergruppe, Isomorphie
Man sucht ja nur nach einem Widerspruch. Gibt es in der Z4/4 ein Element der Ordnung 4? Gibt es ein solches Element in V4?
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Ich erstell gerade mal die beiden tafeln und vergleiche. Meld mich gleich nochmal. Tausend dank schonmal!!!
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »

Also der Widerspruch läge ja hier dabei, dass ja ich weiß nciht wie ich das formulieren soll,..

Also ich seh den widerspruch, alsodas worauf du glaube ich hinaus willst,.. der läge ja bei (1+1)(1+3)sowie (3+1)(3+3)
Also wenn ich s4 bzw V4 auf Z/4Z abbilden wollte würde es bei diesen beiden bzw. 4 elementen nicht funktionieren,.. wenn du weißt was ich meine

Nur leider weiß ich nciht wie ich das formulieren soll,.. da hab ich mal noch die größten Probleme mit, das aufzuschreiben, was ich meine, dass es auch richtig ist :/,...kannst du mir da weiterhelfen?


Und zu der a) in wie weit soll ich da die definition von untergruppen noch miteinbringen?

Tausend dank nochmals!!!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe durch meine Frage doch schon gesagt, wo der Widerspruch zu finden ist. Gibt es in der V4 ein Element der Ordnung 4? Gibt es in der Z4/4 ein Element der Ordnung 4? Was folgt für eine Bijektion?
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn ein Element der Ordnung 4? :-/

Entschuldige, aber ich bin ein ganz kleiner Anfängerstudent :-( und noch cniht sehr mathematisch,....
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Na, wer hört denn hier eine Algebravorlesung? Elementordnung => Definition => nachschlagen. smile
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, nachgeschlagen hab ich das natürlich,.. so dreist bin ich dann doch nicht, dass ich erwarte, dass du meine Vorlesung ersetzt ;-). Vielleicht war die Frage blöd formuliert. Ich weiß nicht wie ich die definition in diesem Fall auf die Verknüpfungstafeln anwenden kann,.. Das mein ich eher,... Weißt du wo mein Problem liegt? :-/
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

An der Tafel kannst du die Ordnungen doch ablesen. Nach wie vielen Schritten landet man auf der Identität? Und da unterscheiden sich die Gruppen grundlegend.
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »

Also dementsprechend lande ich bei S_4 nach dem ersten,2ten,3ten bzw vierten Schritt auf der Identität und bei Z/4Z nach der 1sten 4ten 3ten zweiten?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was? Schau das nochmal genau an. Nimm ein Element aus V4 ungleich e. Welche Ordnung hat es dann?
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »

Also die ordnung ist ja die kleinste natürliche Zahl n > 0, für die gilt
Also bei S_4 oder V wie du es nennst wäre wenn ich folgende verknüpfungstafel hätte:



Dann wäre ja also 2ter Ordnung
Bei Z\4Z wäre es aber bei 1



Und das ist ja bei 1 4ter Ordnung,...

Oder nicht?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich rede von U und nenne es nach kleinscher Vierergruppe V4. Die S4 ist die symmetrische Gruppe (Permutationen von 4 Elementen). Davon rede ich nicht, denn die hat 4! Elemente.

Es ging doch darum zu zeigen, dass V4 und die zyklische Gruppe Z4/4 nicht isomorph sind.
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »

Hui, ein Glück,.. Ich dachte schon du hättest mich aufgegeben :-)... Vielen Dank, dass du dir die Zeit für mich nimmst!

Ja aber in meiner Aufgabe wird sie so genannt,... also S_4 oder nicht?

Aber mir fällt gerade auf, dass ich ja garnicht zeigen soll das S_4 und Z/4Z isomorph sind sondern U und Z/4Z, wobei ich ja nach der a davon ausgehen kann, dass die beiden gleich sind, oder?

Ach ich seh schon wo mein gedankenfehler bei der Bennenung ist,
also ja du hast recht, darum geht es in der Aufgabe,.. also ist das falsch was ich gesagt habe? Mit der Elementenordnung?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klein'sche Vierergruppe, Isomorphie
[attach]21899[/attach]

(a) Zeige dass V4 eine Untergruppe der S4 ist

(b) Ist V4 abelsch?

(c) ist V4 zyklisch?

(d) mit (c) hat man im Grunde schon (d). Da spielt rein, was ich dich die ganze Zeit frage.
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also meine Antworten waren bis dato:
b) Ja die Gruppe ist abelsch:
Es gibt die inversen und neutralen Elemente, sowie gilt das kommutativ als auch das assoziativgesetz (wobei meine Frage hierbei wäre, ob ich das einzeln für alles beweisen müsste, also mit den gesetzen,...?)
c) Nein (U,o) ist nicht zyklisch:
(oder )



Oder liege ich da falsch?

Und was du mir die ganze Zeit versuchst zu sagen weiß ich lieder nicht verwirrt ...

Undbei der a) hätt ich ja soweit schonmal die verknüpfungstafel die Zeigt dass

Liebe Grüße
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was tust du nur... U hat 4 Elemente.

(a) zeige U ist eine Gruppe und dass U eine Untergruppe der S4 [4!=24 Elemente] ist.

(b) Hat man in (a) eine Gruppentabelle gemacht, kann man abelsch direkt ablesen oder ein Gegenbeispiel nennen.

(c) hat u ein erzeugendes Element? Welche Ordnung müßte dies bei einer 4elementigen Gruppe haben?

(d) Wenn man (c) hat und weiß das Z4/4 zyklisch ist, also ein erzeugendes Element der Ordnung ___ hat, ist man fertig.
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber U hat doch auch bei mir 4 elemente,.. nagut e hab ich weggelassen, aber es ist ja indirekt da mit bei, also:
(oder )




Also nein U hat kein erzeugendes Element!

Und es müsste die Ordnung 4 haben oder nicht? Welches U nicht hat, jedoch Z/4Z

Und bei der a weiß ich leider nicht was du meinst :-/

Viele Grüße
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst exakter Lesen. Du hast geschrieben:

Zitat:
Undbei der a) hätt ich ja soweit schonmal die verknüpfungstafel die Zeigt dass


Und das ist doch Unsinn. 4 Elemente können nicht 24 Elemente sein.

Was soll V nun sein? und was willst du mir damit sagen? U ist doch die V4 (wenn man sie eben kennt).

Z/4Z={0,1,2,3} bzgl. + und wird von der 1 erzeugt: 1,2,3,0. 1 hat also die Ordnung 4.

In V4 hat aber jedes Element ausser e die Ordnung 2 => Nachweis!

=> Die Gruppen können trotz gleicher Elementzahl nicht isomorph sein (d).

Bei (a) musst du nun erst mal nachweisen, dass die Menge eine Gruppe ist. Ihre Elemente sind durch die Schreibweise ja schon als Elemente der S4 gekennzeichnet. Permutationen als Stichwort.
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage für mich ist eher, was ist ? Ich dachte eigentlich, dass das das Gleiche ist wie U aber dem ist ja nicht so,..

Also bei den Elementen 2ter Ordnung den Nachweis, ist es denn nciht schon damit getan:
(oder )




Da sieht man ja dann das sie das sind, oder nicht?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe keine Lust mich ständig zu wiederholen.

Zitat:
Die S4 ist die symmetrische Gruppe (Permutationen von 4 Elementen).


Zitat:
(a) zeige U ist eine Gruppe und dass U eine Untergruppe der S4 [4!=24 Elemente] ist.
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir furchtbar leid, .. bitte verliere noch nicht ganz die Geduld mit mir!
Also ich hab nochmal ein wenig nachgelesen, was Permutaionen sind etc. und verstehe zumindest jetzt den Unterschied zwischen (S_4, o) und U bzw V4.
Und ich soll ja beweisen dass U eine Untergruppe von S4 ist, also in dem fall ja nur ,.. nur wie mache ich das? ich kann ja schlecht alle elemente von s_4 aufschreiben oder?

Vielen herzlichen Dank nochmal!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sagte auch schon wie. Augenzwinkern

=> Zeige, dass die Elemente von U auch in S4 liegen.
=> Zeige, dass U eine Gruppe ist.
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also ich kann ja zeigen dass U eine Gruppe ist indem ich die Verknüpfungstafel male, oder? Dann sieht man das ja eigentlich,... Nur wie kann ich zeigen das die Elemente von U auch in S_4 liegen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Sagte ich auch schon, dass folgt doch direkt daraus, wie die Elemente von U notiert sind. Als Permutationen von 4 Elementen.
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »

Also male ich da meine schöne Verknüpfungstafel und schreibe, dass das eine Gruppe ist, wegen neutralen Elementen und so, und das es eine Untergruppe sei,da:
Eine Permutation ist eine Abbildung, die Elemente einer Menge permutiert, also vertauscht, in diesem Falle (s_4) die Elemente der Menge {1,2,3,4}. Wobei alle erdenklichen kombinationen der Zahlen in der Menge S_4 enthalten sind. Die Menge U enthält ebenfalls 4 Mengen mit den Elementen 1,2,3,4 , wobei jede des Element genau einmal in den 4 Mengen der Menge U enthalten ist. Nach definition von Permutationen müssen die Mengen der Menge U auch in S_4 enthalten sein.

Wobei ich mir dabei auch sehr unsicher bin, ob ich mich cniht mit den Bezeichnungen vetan habe,...
Oder soll ich da was mathematischeres Aufschreiben?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die Elemente von U sind in einer speziellen Notation angegeben. Und die steht für was? Fertig.

Tabelle hilft zu verdeutlichen, dass U nichtleer bzgl. der Verknüpfung und Inversion abgeschlossen ist [Damit Untergruppe weil S4 Gruppe]. Generell kann man auch Gruppenaxiome durchgehen. Ist hier bei 4Elementen ja leicht machbar.
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich kann ja nicht nur hinschreiben, dass U eine Untergruppe von S_4 ist, da die elemente von U als Permutationen von 4 Elementen notiert sind und dementsprechend = Untergruppe von S_4 ?!

Bzw. Das U eine Gruppe ist, da es (wie eben begründet) eine Untergruppe von S_4 ist?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Lies doch bitte genauer. Ich sagte, dass es eine Teilmenge von S4 ist folgt aus der Definition. Zu tun ist noch:

Zitat:
Tabelle hilft zu verdeutlichen, dass U nichtleer bzgl. der Verknüpfung und Inversion abgeschlossen ist [Damit Untergruppe weil S4 Gruppe]. Generell kann man auch Gruppenaxiome durchgehen. Ist hier bei 4Elementen ja leicht machbar.
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das hab ich schon gelesen, die Tabelle ist ja schon auf meinem Blatt Papier, deswegen kommt die ja sowieso zu meinem Aufgabenteil dazu,...
Bitte erschlag mich nicht gleich, aber was verstehst du unter : Generell kann man auch Gruppenaxiome durchgehen. Ist hier bei 4Elementen ja leicht machbar. ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist eine Gruppe definiert? Und das kann man bei 4 Elementen sogar vorrechnen, dass diese Bedingungen hier erfüllt sind. Steckt im Grunde in der Tabelle.
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »

Also soll ich für jedes der Elemente zeigen das ein neutrales sowie Inverses Element vorhanden ist und das sowohl das Assoziativ- als auch Kommutativgesetz gilt?
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei das kommutativ ja erst im aufgabenteil b zu kräften schlägt,..
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Seit wann steht in der Definition einer Gruppe "muss kommutativ sein?"
Hanna21 Auf diesen Beitrag antworten »

Deswegen ja mein, wobei das kommutativ erst in b) zu kräften schlägt, wegen abelscher Gruppe...

Also zeig ich das besser für alle Element, um auch ja meine vollen Punkte zu bekommen? ist schließlich erst unser drittes Aufgabenblatt,.. da sind die Korrekteure ja meist noch ein wenig pingeliger ;-)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die schon schreiben, Tabelle machen, möchten die bestimmt nicht seitenlang korrigieren.
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