In irreduzible Elemente zerlegen

13.11.2011, 18:04	_Kevin_	Auf diesen Beitrag antworten »
In irreduzible Elemente zerlegen Hallo, ich komme bei einer Staatsexamenaufgabe nicht weiter. Und zwar will ich das Element $\begin{eqnarray} 1 + 4\sqrt{-2} \end{eqnarray}$ im faktoriellen Ring $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[\sqrt{-2}] \end{eqnarray}$ in irreduzible, also in Primelemente zerlegen (weil der Ring ja faktoriell ist). Nun frage ich mich: gibt es da irgendeinen Algorithmus, bzw. ein bestimmtes Verfahren dafür? Ich weiß, wie ich zeigen kann, dass ein Element irreduzibel ist, aber nicht, wie ich ein Element in irreduzible Elemente zerlegen kann. Könnt ihr mir da einen Tipp geben? Danke im Voraus.
13.11.2011, 18:09	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt nen Trick: Verwende die Norm von $\begin{eqnarray} 1 + 4\sqrt{-2} \end{eqnarray}$
13.11.2011, 18:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} \alpha = m + n \sqrt{-2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m,n \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ bezeichnet man $\begin{eqnarray} N(\alpha) = m^2 + 2n^2 \end{eqnarray}$ als Norm von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ . Die Norm ist multiplikativ: $\begin{eqnarray} N(\alpha \beta) = N(\alpha) \cdot N(\beta) \end{eqnarray}$ Rechts stehen Zerlegungen in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , hier sogar in $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Damit lassen sich die in Frage kommenden $\begin{eqnarray} \alpha,\beta \end{eqnarray}$ einschränken. EDIT Da war schon jemand anders am Werk ...
13.11.2011, 18:39	_Kevin_	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch beiden, habe jetzt $\begin{eqnarray} 1+4sqrt{-2} = (1+sqrt{-2})(3+sqrt{-2}) \end{eqnarray}$ raus, das sollte bis auf Assoziiertheit eindeutig sein und auch so stimmen. Hat mir sehr weitergeholfen!
13.11.2011, 18:40	_Kevin_	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich soll es immer $\begin{eqnarray} \sqrt{-2} \end{eqnarray}$ heißen.

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