Frage zu Folgen, die über andere Folgen definiert sind

13.11.2011, 18:17

ray.montag

Frage zu Folgen, die über andere Folgen definiert sind

Hi,

ich habe hier eine mE ziemlich schwierige Fragenstellung, bei der ich im Moment total hänge: Wir haben eine reele folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und eine weitere Folge

$\begin{eqnarray*} b_n:=\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n} \end{eqnarray*}$

Es soll nun folgendes bewiesen werden:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=a\Rightarrow\lim_{n\to\infty}b_n=a \end{eqnarray*}$

Meine erste und bisher einzige Idee war, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nach dem Trivialkriterium eine Nullfolge sein muss, aber ich bin mir noch nicht mal sicher, ob ich das überhaupt richtig sehe.

Irgendwelche Vorschläge?

13.11.2011, 18:19

Huy

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RE: Frage zu Folgen, die über andere Folgen definiert sind

Zitat:

Original von ray.montag
Meine erste und bisher einzige Idee war, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nach dem Trivialkriterium eine Nullfolge sein muss, aber ich bin mir noch nicht mal sicher, ob ich das überhaupt richtig sehe.

Das ist falsch. Du dividierst ja noch durch n.

MfG

13.11.2011, 19:40

ray.montag

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Hat vielleicht irgendjmd. trotzdem einen Ansatz? Ich stehe gerade nämlich total aufm Schlauch...

13.11.2011, 19:53

ray.montag

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Mir fällt gerade auf: $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ sieht ja iwie aus, wie das arithmetische Mittel. Das heißt, ich muss grob gesagt zeigen, dass, dadurch das n gegen unendlich strebt, ich unendlich viele Zahlen im Zähler habe, die a unendlich nahe sind und damit $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gegen a strebt, oder?

19.11.2011, 14:19

ray.montag

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Habs übrigens inzwischen hinbekommen. Stichwort: Cauchyscher Grenzwertsatz

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