Grenzwert von Folgen

13.11.2011, 18:25

hilfezuschwer

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Grenzwert von Folgen

Meine Frage:
Hi
Habe ein Problem bei folgender Aufgabe:
Betrachten Sie die Folgen reeler Zahlen $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\ge 0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_{n})_{n\ge 0} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} a_n =\left(1+\frac {1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} b_n =\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie:
a) $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\ge 0} \end{eqnarray*}$ ist streng monoton wachsend.
b) $\begin{eqnarray*} (b_{n})_{n\ge 0} \end{eqnarray*}$ ist streng monoton fallend.
c) $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\ge 0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_{n})_{n\ge 0} \end{eqnarray*}$ konvergieren gegen denselben Grenzwert.

Meine Ideen:
Also ich weiß das a_n und b_n gegen e konvergieren, sonst habe ich leider noch keine Ansätze. Ich weiß absolut nicht wie ich das beweisen soll.

14.11.2011, 09:22

klarsoweit

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RE: Grenzwert von Folgen
Zeige, daß die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Daraus folgt direkt die steigende Monotonie.

14.11.2011, 11:11

hilfezuschwer

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komme dann hierhin:
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\ge 1 \end{eqnarray*}$
krieg das nur nicht mehr vereinfacht.

14.11.2011, 13:59

madx

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Das zeigt ja noch nicht wirklich ob es größer oder gleich 1 ist. Du musst es also noch irgendwie vereinfachen, mit dem

Hinweiß: $\begin{eqnarray*} x^{n+1}=x^n*x \end{eqnarray*}$

Edit:
Ich sehe gerade das es falsch ist, was du da machst. Denn du sollst strenge Monotonie nachweisen.

Also: $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1} }{a_{n} } >1 \end{eqnarray*}$

Trotzdem gilt der Hinweiß

14.11.2011, 14:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von hilfezuschwer
komme dann hierhin:
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\ge 1 \end{eqnarray*}$
krieg das nur nicht mehr vereinfacht.

Das war ja nur a_n eingesetzt. Etwas umformen wäre ja noch im Bereich des Möglichen gewesen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}} = \frac{\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}} \cdot \frac{n+1}{n} = \left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^{n+1} \cdot \frac{n+1}{n} = \left(1 - \frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1} \cdot \frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch die Bernoullische Ungleichung anwenden, dann ist der Käs gegessen. smile

smile

14.11.2011, 18:03

Gast9562

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Kann man das wirklich mit der Bernoullischen Ungleichung zeigen? ich komme da auf 1 am Ende damit wäre doch nur ein monotones Wachstum gezeigt und kein Strenges, oder sehe ich das falsch.

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14.11.2011, 18:27

HAL 9000

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In einer die Parameter einschränkenden Variante IST die Bernoullische Ungleichung ebenfalls streng:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n > 1+nx \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\geq -1,x\neq 0,n\geq 2 \end{eqnarray*}$ .

14.11.2011, 18:44

Gast9562

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Ok ich habe hier sowieso einen Fehler gemacht es gilt ja

$\begin{eqnarray*} </b><br /> (1-x)^{n} <\frac{1}{1+n*x} <b> \end{eqnarray*}$

15.11.2011, 10:47

hilfezuschwer

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die umformung hab ich verstanden.
wie wende ich jetzt die ungleichung an?
bei mir säh das so aus:
$\begin{eqnarray*} \left( 1-\frac{1}{(n+1)^2} \right) ^{n+1} \cdot \frac{n+1}{n} < \frac{(n+1)^2}{n+1} \end{eqnarray*}$
tut mir leid hab das vorher noch nie gemacht.

15.11.2011, 11:03

klarsoweit

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Wende die Bernoullische Ungleichung so an, wie HAL9000 sie gepostet hat.

15.11.2011, 11:20

hilfezuschwer

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was mach ich denn mit dem faktor nach der klammer

15.11.2011, 11:39

klarsoweit

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Der bleibt einfach stehen. Wenn c > 0 ist, dann folgt aus a > b, daß auch a*c > b*c ist.

15.11.2011, 11:42

hilfezuschwer

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alles klar.
danke.
die b) geht dann analog oder?
wie mach ich das denn bei der c)?

15.11.2011, 11:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von hilfezuschwer
die b) geht dann analog oder?

Ja.

Zitat:

Original von hilfezuschwer
wie mach ich das denn bei der c)?

Erstmal mußt du zeigen, daß die Folgen konvergieren. Das ist für b_n kein Problem und für a_n kannst du nutzen, daß a_n <= b_n ist.

15.11.2011, 13:02

hilfezuschwer

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dann komm ich bei a_n auf:
$\begin{eqnarray*} \left( 1- \frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1} > \left( 1 -\frac{1}{n+1}\right) \end{eqnarray*}$
stimmt das?
aber so ist das doch noch nicht bewiesen oder?

15.11.2011, 13:20

klarsoweit

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Jetzt hast du was vergessen. Richtig ist:
$\begin{eqnarray*} \left( 1-\frac{1}{(n+1)^2} \right) ^{n+1} \cdot \frac{n+1}{n} > (1 - \frac{1}{n+1}) \cdot \frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

15.11.2011, 18:20

hilfezuschwer

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ich dachte die faktoren sind auf beiden seiten gleich also kann ich sie rauskürzen, oder etwa nicht?
wenn ich die gleichung aufgestellt habe, dann habe ich das aber doch noch nicht bewiesen oder?

15.11.2011, 21:12

hilfezuschwer

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komme am schluss auf 1 größer 1.
aber ich hab ja vorher beim bernoulli ja auch ein größer gehabt und kein größer gleich, also ist es doch bewiesen oder?

15.11.2011, 21:14

hilfezuschwer

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sry mein post mit dem kürzen war schwachsinn. stand auf dem schlauch.

15.11.2011, 21:21

hilfezuschwer

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sry. da kommt 1 größer gleich 1 hin, da ich beim bernoulli ja schon ein größer hatte. also habs raus danke!!
dann will ich mich mal an die c wagen.

15.11.2011, 21:41

hilfezuschwer

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wenn der limes von den bernoullis aus a und b gleich ist, ist dann auch der limes von a und b gleich?
(für die c)

15.11.2011, 22:48

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Verstehe jetzt nicht, was du meinst. Du mußt jetzt zeigen, daß a_n <= b_n ist. Daraus folgt dann die Konvergenz. Dann mußt du noch zeigen, daß die Grenzwerte gleich sind.

16.11.2011, 15:19

hilfezuschwer

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ob ich die nicht einfach wieder mit der bernoulli ungl. abschätzen kann und die so vergleichen kann?

16.11.2011, 15:30

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Zu kompliziert. Bilde b_n / a_n . Ist das größer als 1 ?

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