Grenzwert der charakteristischen Funktion

13.11.2011, 18:47

trashing88

Grenzwert der charakteristischen Funktion

Für $\begin{eqnarray*} M{\subseteq}X \end{eqnarray*}$ wird die charakteristische Funktion $\begin{eqnarray*} \chi_M \end{eqnarray*}$ definiert:
$\begin{eqnarray*} \chi_M(x)=1 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \chi_M=0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x\in X-M \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{R},n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Berechne

$\begin{eqnarray*} \underset{n\to \infty}{\lim}\chi_{[-n,n]}(x) \end{eqnarray*}$

Ist die Konvergenz gleichmäßig?

Also ich hab erstmal folgendes Problem damit: Es hängt ja offensichtlich davon ab ob x eine natürliche Zahl ist oder nicht. Wenn x eine natürliche Zahl ist, dann müsste ja der Grenzwert auch 1 sein.

Aber wenn ich von vornherein mit einem reellen x starte, meinetwegen Pi, dann kann der Limes ja auch nur 0 sein, da zwar die Menge vergrößert wird sich aber an dem x nichts ändert.

Folglich existiert der Grenzwert überhaupt nicht, oder? Und somit auch keine gleichmäßige Konvergenz.

Aber Teil b der Aufgabe verlangt dann:
Zeige, dass die Funktionsfolge $\begin{eqnarray*} (f_n), (n\to \infty) \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f_n(x):=e^{-|x|}\chi_{[-n,n]}(x) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen die Funktion $\begin{eqnarray*} e^{-|x|} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

14.11.2011, 00:09

trashing88

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hat keiner eine Idee dazu?

14.11.2011, 12:02

René Gruber

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Zitat:

Original von trashing88
Es hängt ja offensichtlich davon ab ob x eine natürliche Zahl ist oder nicht. Wenn x eine natürliche Zahl ist, dann müsste ja der Grenzwert auch 1 sein.

Offensichtlich ist eher, dass der Grenzwert immer existiert und 1 ist - egal, ob $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ natürlich ist oder nicht. Augenzwinkern

Was die gleichmäßige Konvergenz betrifft, dann muss man zunächst sagen: Worauf gleichmäßig? Auf irgendeinem endlichen Intervall, oder auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ? Ich nehme an, letzteres, und diese Konvergenz trifft nicht zu.

Genau dies ändert sich dann bei b), im Grunde genommen weil $\begin{eqnarray*} e^{-|x|} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to \pm\infty \end{eqnarray*}$ verschwindet.

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