Irreduziblität in Polynomring

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13.11.2011, 20:18	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduziblität in Polynomring Guten Abend, ich habe mal wieder eine Frage bezüglich eines Beweises. Es geht um folgendes: Sei R ein ZPE Ring mit Quotientenkörper K. Ist $\begin{eqnarray} f \in R[X] \end{eqnarray}$ irreduzibel, so ist auch f irreduzibel in $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ . Nun der Beweis sieht wie folgt aus: Sei f zerlegbar in $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ d.h $\begin{eqnarray} f = z_{1}z_{2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z_{i} \in K[X], deg(z_{i}) \geq 1 \end{eqnarray}$ . Da K ein Quotientenkörper ist folgt $\begin{eqnarray} \exists b_{1},b_{2} \in R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_{1} = b_{1}z_{1}, f_{2} = b_{2}z_{2} \in R[X] \end{eqnarray}$ . Sei o.B.d.A $\begin{eqnarray} f_{1},f_{2} \end{eqnarray}$ primitiv. Dann gilt $\begin{eqnarray} b_{1}b_{2}f = b_{1}b_{2}z_{1}z_{2} = f_{1}f_{2} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} R[X] \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} f_{1},f_{2} \end{eqnarray}$ primitiv. Dann gilt nach dem Gaußschen Lemma das auch $\begin{eqnarray} b_{1}b_{2}f \end{eqnarray}$ primitiv ist. Aber $\begin{eqnarray} b_{1}y \| c (b_{1}b_{2}f ) \Rightarrow b_{1}b_{2} \in R^{x} \Rightarrow f = (b_{1}b_{2})^{-1}f_{1}f_{2} \end{eqnarray}$ zerlegbar. I Ich verstehe nicht weshalb ist damit gezeigt, dass f zerlegbar ist? Wo her weiß man, dass keiner der Faktoren Element aus $\begin{eqnarray} R[X]^{x} \end{eqnarray}$ ist? Das ist für mich gar nicht ersichtlich. Wäre dem nämlich so, so wäre es doch per Definition irreduzibel.
13.11.2011, 20:23	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht $\begin{eqnarray} R[X]^ \end{eqnarray*}$ aus?
13.11.2011, 22:29	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} R[X]^{} = \left\{f \in R[X]\| \exists g \in R[X]: fg = 1 \right\} \end{eqnarray}$ . Allerdings meinst du wohl was spezielleres. Leider weiß ich nicht was?
13.11.2011, 22:32	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist gibt eine Aussage wie im Falle Eines Int.rings (was ein ZPE-Ring ja ist) $\begin{eqnarray} R[X]^ \end{eqnarray*}$ konkret aussieht. Steht im Skript, wahrscheinlich kurz nach der Einführung von Poylnomringen.
13.11.2011, 22:45	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok. $\begin{eqnarray} R[X]^{} = R^{} \end{eqnarray}$ . Hm aber $\begin{eqnarray} b_{1}, b_{2} \end{eqnarray}$ sind doch gerade Einheiten aus $\begin{eqnarray} R^{} \end{eqnarray}$ . Dann wäre doch $\begin{eqnarray} f= (b_{1}b_{2})^{-1}(f_{1}f_{2}) = z_{1}z_{2} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} z_{1},z_{2} \end{eqnarray*}$ nicht invertierbar sind d.h f ist zerlegbar. Ist das so richtig?
13.11.2011, 22:49	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Und ab jetzt wird $\begin{eqnarray} R[X]^{} = R^{} \end{eqnarray}$ nie mehr vergessen.
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13.11.2011, 22:50	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke . Das brennt sich nun hoffentlich in meinem Kopf ein
14.11.2011, 09:45	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist gerade aufgefallen... Es gilt doch $\begin{eqnarray} z_{1},z_{2} \in K[X] \end{eqnarray}$ . d.h aber doch nicht das auch $\begin{eqnarray} z_{1},z_{2} \in R[X] \end{eqnarray}$ gilt? Was wurde denn da überhaupt dann gezeigt, man ist doch wieder am gleichen Punkt angekommen. Das f in $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ zerlegbar ist wurde doch bereits vorrausgesetzt.
14.11.2011, 11:33	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irreduziblität in Polynomring Und was ist mit $\begin{eqnarray} f_1,f_2 \end{eqnarray}$ ?
15.11.2011, 07:44	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die sind tatsächlich Elemente von $\begin{eqnarray} R[X] \end{eqnarray}$ . Danke.

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