Kurvendiskussion von f(x) = (x + t)*e^-x

13.11.2011, 22:32

Nadia92

Kurvendiskussion von f(x) = (x + t)*e^-x

Meine Frage:
Hey meine Lieben!
Ich komm bei einer Aufgabe nicht weiter, sie lautet:
Gegeben ist eine Schar von Funktionen f t durch f t (x)= (x + t)e^-x mit $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ > 0

Diskutiere die Funktion f t (Nullstellen, Asymptoten, lokale Extrema, Wendestellen).
[/latex]

Meine Ideen:
Mein Problem ist die Variable t ! Wie soll ich diese ableiten oder darf ich einfach eine Zahl größer als 0 einfügen und dann diskutieren?

13.11.2011, 22:41

mwinter

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RE: Kurvendiskussion von f(x) = (x + t)*e^-x

Zitat:

Original von Nadia92
Meine Ideen:
Mein Problem ist die Variable t ! Wie soll ich diese ableiten oder darf ich einfach eine Zahl größer als 0 einfügen und dann diskutieren?

Bei einer Funktionsschar kann man den Parameter einfach wie eine Zahl behandeln.

Ich werde es dir an einem einfachen Beispiel verdeutlichen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 5 \cdot x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2 \cdot 5 \cdot x = 10 \cdot x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 2 \cdot 5 = 10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = t \cdot x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2 \cdot t \cdot x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 2 \cdot t \end{eqnarray*}$

Klar?

13.11.2011, 22:43

Mathe-Maus

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RE: Kurvendiskussion von f(x) = (x + t)*e^-x
t ist eine beliebige Konstante. Wenn Du nach x ableitest, behandel t dementsprechend.

Wie Du sicher bereits weisst, musst Du in dieser Aufgabe zusätzlich auch die Produktregel anwenden.

Versuche mal folgendes Abzuleiten: f(x) = x + t
Was kommt raus ?

LG Mathe-Maus Wink

PS: mwinter war schneller ... @mwinter: Gebe an Dich zurück.

13.11.2011, 22:48

Nadia92

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Also bleibt das t die ganze Zeit vorhanden oder muss ich für t eine Zahl einsetzen???

Zu Mathe-Maus:
f = x+t
f'= 1+t
f''= t

richtig?

13.11.2011, 22:53

Mathe-Maus

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Zu Mathe-Maus:
f = x+t
f'= 1+t
f''= t

Nein, leider nicht ganz richtig.

Ich schreibe es mal anders:

f(x) = x + C
f´(x) = ...

13.11.2011, 22:57

Nadia92

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Tut mir leid, weiss aber nicht worauf du hinaus willst.
Also nimmt man das t nicht einfach mit und leitet das x ab ? Mit dem C kann ich leider auch nichts anfangen..

13.11.2011, 23:00

Mathe-Maus

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f(x) = x + C
f´(x) = 1

Das C ist eine Konstante. Bei Dir heisst die Konstante eben t ....
Die Ableitung einer Konstanten ist 0. (siehe auch Formelsammlung).

Also:

f(x) = C
f´(x) = 0

13.11.2011, 23:01

Nadia92

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das wiederspricht leider dem was mwinter gesagt hat, da er/sie das t einfach mitgeschleppt hat ohen daran was zu ändern.

13.11.2011, 23:05

Mathe-Maus

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Im Beispiel von mwinter ist t ein (konstanter) Faktor !

Ein Faktor wird bei der Ableitung mitgenommen.
Eine Konstante entfällt bei der Ableitung.

Schau Dir mal genau den Unterschied an.

13.11.2011, 23:06

Nadia92

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Okay Verstehe! Und bei meiner Aufgabe ist es da ein Faktor oder eine Konstante?

13.11.2011, 23:08

Mathe-Maus

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Heist es bei Dir: x*t oder x+t ?

@mwinter: Dein Beispiel ist sehr gut ! Freude

13.11.2011, 23:09

mwinter

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RE: Kurvendiskussion von f(x) = (x + t)*e^-x
Um das vielleicht noch zu verdeutlichen..

Zitat:

Original von mwinter

$\begin{eqnarray*} f(x) = t \cdot x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2 \cdot t \cdot x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 2 \cdot t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x) = 0 \end{eqnarray*}$

In der dritten Ableitung wäre auch in meinem Beispiel das t weggefallen.

lg

13.11.2011, 23:09

Nadia92

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Wie oben schon geschrieben heisst es: (x+t)e^-x

13.11.2011, 23:10

Nadia92

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RE: Kurvendiskussion von f(x) = (x + t)*e^-x
okey verstehe mwinter!

13.11.2011, 23:15

Mathe-Maus

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Zitat:

Original von Nadia92
Wie oben schon geschrieben heisst es: (x+t)e^-x

Wenn Du nur die Klammer betrachtest: Was ist t nun ? Faktor oder Konstante ?

13.11.2011, 23:16

Nadia92

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Natürlich eine Konstante smile

Also ich versuch mal nach der Produktregel das abzuleiten! Schreibe gleich mein Ergebnis!

13.11.2011, 23:17

Mathe-Maus

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@mwinter: Wenn Du noch on bist ... ich übergebe an Dich Wink

13.11.2011, 23:18

Nadia92

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Habe noch ne ganze Woche Zeit Big Laugh

Sonst schaut doch mal morgen vorbei. Gute Nacht

13.11.2011, 23:24

Nadia92

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Sagt mal, ich muss doch Nullstellen, Extrema etc. rausbekommen. Also muss ich die Ableitungen ja 0 setzen. Das geht doch garnicht wenn ich mit einer Konstanten arbeite. Ich brauche doch am Ende ein Ergebnis/Zahl, ich glaube ich muss eine Zahl für t einsetzen! Wie sieht ihr das?

13.11.2011, 23:58

Mathe-Maus

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Nadia, keine Panik ... die Formel besteht doch nicht nur aus der Konstanten! Augenzwinkern

(.. und nein, für t sollst Du keine Zahl einsetzen. Falls Du eine zusätzliche Probe machen möchtest, kannst Du für t später eine Zahl einsetzen, zur Lösung der Aufgabenstellung jedoch nicht !).

Was willst Du zuerst machen ? Nullstellen oder Ableitungen ?

14.11.2011, 14:36

Nadia92

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Ich mach mal zuerst die Nullstellen:
$\begin{eqnarray*} (x + t)*e^{-x} = 0 \end{eqnarray*}$

Ich denke man müsste nach $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ auflösen oder? :S

14.11.2011, 18:25

mwinter

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Hallo Nadja, smile

genau, probier es am besten erstmal mit den Nullstellen. Dabei wird dir vielleicht deutlich, was ich mit meiner Aussage meinte, dass du t einfach wie eine Konstante behandeln kannst.

Da ich bei der Einführung von Funktionsscharen selber auch Schwierigkeiten hatte, mit dem Parameter t umzugehen, werde ich dir jetzt erstmal ein paar grundlegende Dinge erläutern, um dir das Thema hoffentlich verständlicher zu machen. Zunächst musst du dich bei Funktionsscharen von dem Gedanken verabschieden, dass du immer eine ,,stinknormale Zahl" als Ergebnis erhälst. Vielmehr wird es nun auch vorkommen, dass dein Ergebnis von der Konstanten t abhängig ist.

Das ist das Schöne an Funktionsscharen: es ist möglich, quasi unendlich viele Funktionen gleichzeitig zu behandeln.

Die Funktionsschar $\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = (x + t) \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$ beispielsweise beschreibt nämlich unendlich viele Funktionen, z.B.:

$\begin{eqnarray*} f_{1}(x) = (x + 1) \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{2}(x) = (x + 2) \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{3}(x) = (x + 3) \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{50}(x) = (x + 50) \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{100}(x) = (x + 100) \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

.. oder auch:
$\begin{eqnarray*} f_{-2}(x) = (x - 2) \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{-3}(x) = (x - 3) \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Diese Funktionen bspw. gehören alle zu deiner Funktionsschar $\begin{eqnarray*} f_{t}(x) \end{eqnarray*}$ .

Wenn du nun eine Kurvendiskussion für $\begin{eqnarray*} f_{t}(x) \end{eqnarray*}$ durchführst, dann lassen sich deine Ergebnisse auf alle Funktionen übertragen, die zu der Funktionsschar $\begin{eqnarray*} f_{t}(x) \end{eqnarray*}$ gehören.

Beispiel:
Nehmen wir mal an du erhälst als Ergebnis für die Nullstellen der Schar $\begin{eqnarray*} x = 4 \cdot t \end{eqnarray*}$ (das Ergebnis ist nicht korrekt, darauf sollst du selber kommen), dann kannst du mit Leichtigkeit die Nullstelle jeder Funktion berechnen, die Teil der Funktionsschar ist.

Da für $\begin{eqnarray*} f_{2}(x) = (x + 2) \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$ offensichtlich $\begin{eqnarray*} t = 2 \end{eqnarray*}$ gilt, kannst du also ohne Probleme die Nullstelle der Funktion berechnen: $\begin{eqnarray*} x = 4 \cdot t = 4 \cdot 2 = 8 \end{eqnarray*}$

Soweit klar?

Dann versuch einfach mal die Nullstelle(n) deiner Funktionsschar zu berechnen. Lass dich dabei nicht von dem Parameter t irritieren, der darf ruhig auch im Ergebnis vorkommen!

Lg Augenzwinkern

EDIT:
Du musst bei der Berechnung der Nullstellen natürlich nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflösen, nicht nach $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ .

14.11.2011, 19:31

Nadia92

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Wow danke dir sehr! Jetzt wird mir alles etwas verständlicher!

$\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = (x + t) \cdot e^{-x} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = x + t = e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = x = e^{-x} - t \end{eqnarray*}$

Ich hab echt Schwierigkeiten mit der Klammer unzugehen, hab das mal so gemacht wie es mir am plausibelsten erscheint...

14.11.2011, 19:51

Nadia92

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$\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = (x + t) \cdot e^{-x} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = x + t = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = x = - t \end{eqnarray*}$

14.11.2011, 20:58

mwinter

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Hey Nadia, Augenzwinkern

super! Im zweiten Anlauf hast du es richtig umgestellt. Lediglich formal ist dein Rechenweg nicht ganz korrekt. Ganz wichtig ist, dass du beachtest, dass es sich um eine Gleichung handelt, wenn du die Funktion gleich 0 setzt. Deswegen wäre es besser, wenn du das $\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = \end{eqnarray*}$ vor der Gleichung jeweils weglässt.

Außerdem hast du im ersten Schritt durch $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ geteilt, was völlig korrekt ist. Da sich aber auch in diesem Teil der Funktion ein x befindet und er somit von x abhängig ist, musst du auch diesen Teil seperat gleich null setzen.

Denn $\begin{eqnarray*} (x + t) \cdot e^{-x} = 0 \end{eqnarray*}$ zeigt, dass die Gleichung entweder erfüllt ist, wenn $\begin{eqnarray*} (x + t) = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} e^{-x} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} e^{-x} = 0 \end{eqnarray*}$ jedoch nicht lösbar ist, ist das so wie du es gemacht hast auf jeden Fall korrekt. Ich würde es der Vollständigkeit halber trotzdem hinschreiben.

Zitat:

Original von Nadia92
$\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x + t) \cdot e^{-x} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x + t = 0 \vee e^{-x} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = - t \end{eqnarray*}$

Wenn du das soweit verstanden hast, dann probier doch jetzt einmal die Ableitungen der Funktionsschar zu bilden.

Lg Wink

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