Umkehrung des kleinen Satzes von Fermat

13.11.2011, 22:46

Paradiesvogel

Umkehrung des kleinen Satzes von Fermat

Meine Frage:
Hallo Leute!

Wie der Titel es schon sagt, geht es um die Umkerung des kleinen Satzes von Fermat. Diese gilt nicht und das sollen wir zeigen. Im Grunde wäre das auch kein Problem, aber es soll über einen anderen Satz gezeigt werden und damit kriege ich es einfach nicht hin.

Die Umkehrung des kleinen Satzes von Fermat heißt:
Wenn für eine natürliche Zahl m>2 die folgendes gilt: $\begin{eqnarray*} 2^m = 2 (mod m) \end{eqnarray*}$ , dann ist m eine Primzahl.

Dazu soll verwendet werden, dass aus $\begin{eqnarray*} a=b (mod m_1), a=b (mod m_2) \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} a=b (mod m_1m_2) \end{eqnarray*}$ , wenn m1 und m2 teilerfremd sind.

Meine Ideen:
Ich habe versucht zu zeigen, dass ich aus der Voraussetzung nicht folgern kann, dass m eine Primzahl ist, aber das geht nicht. Dann wollte ich die "Hilfe" anwenden, aber damit müsste man ja zeigen, dass m1 und m2 beide verschieden von 0 sind und das geht auch irgendwie nicht. Hat jemand von euch eine bessere Idee? Ich wäre euch wirklich sehr dankbar!

Paradiesvogel

13.11.2011, 23:23

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal die Behauptung $\begin{eqnarray*} 2^m = 2 (mod m) \end{eqnarray*}$ , dann ist m eine Primzahl ist wahr.
Zweitens kann es sein, dass $\begin{eqnarray*} a\equiv b \mod m_1m_2 \Rightarrow a\equiv b\mod m_1 \wedge a\equiv b\mod m_2 \end{eqnarray*}$ verwendet werden soll statt der Umkehrung?

14.11.2011, 16:08

Paradiesvogel

Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann aber nicht sein!
Vielen Dank für die Antwort.
Die Aussage ist aber nicht wahr. Nimm doch zum Beispiel mal 561. Das erfüllt die Gleichung, ist aber keine Primzahl.
Der Satz, den wir verwenden sollen, stimmt auch so, wie ich ihn aufgeschrieben habe.

14.11.2011, 16:15

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Paradiesvogel
Die Aussage ist aber nicht wahr. Nimm doch zum Beispiel mal 561.

... oder irgendeine andere Carmichael-Zahl. Augenzwinkern

14.11.2011, 16:27

Paradiesvogel

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm...
Dann gibt es ja sogar mehrere, die man als Gegenbeispiel verwenden kann.
Auf jeden Fall stimmt die Aussage nicht und jetzt haben wir sogar viele Beispiele dafür. Leider kann ich es nach wie vor nicht zeige und schon gar nicht mit dem Satz. Siehst du vielleicht eine Möglichkeit?

Neue Frage »

Antworten »

Umkehrung des kleinen Satzes von Fermat

Verwandte Themen