grenzwert von konkreten folgen

14.11.2011, 10:49

chrlan1

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grenzwert von konkreten folgen

Meine Frage:
Habe folgende Aufgabe:
Es sei $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl. Existieren in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Grenzwerte der Folgen $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\ge 0} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (b_{n})_{n\ge 0} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (c_{n})_{n\ge 0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (d_{n})_{n\ge 0} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\ge 0}=\frac{2 n^3}{2 n^2 + 3}+\frac{1- 5 n^2}{5 n+1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (b_{n})_{n\ge 0}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2 +1} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} (c_{n})_{n\ge 0}=\frac{a^n}{(1+a)(1+a^2)\cdot ... \cdot (1+a^n)} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (d_{n})_{n\ge 0}=\left(-1\right)^{\left[\frac{n}{2}\right]}+\left(-1\right)^{\left[\frac{n}{4}\right]} \end{eqnarray*}$ ?
Wenn ja, dann geben Sie die Grenzwerte an.
Hinweis: Ist $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so bezeichnet $\begin{eqnarray*} \left[x\right] \end{eqnarray*}$ die ganze Zahl mit $\begin{eqnarray*} \left[x\right]\le x < \left[x\right] + 1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Krieg da dummerweise nicht mal einen Ansatz hin. Wenn jemand eine Idee hat wäre ich über einen Ansatz wirklich froh.
Ein Problem ist zum beispiel bei a_n, dass der erste Summand gegen unendlich geht und der zweite gegen -unendlich. Hab auch schon versucht das auf einen Bruchstrich zu schreiben. komm dann auf 2/15, aber der Grenzwert müsste 0,2 sein.
Schonmal danke im vorraus.

14.11.2011, 10:57

klarsoweit

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RE: grenzwert von konkreten folgen
Vermutlich ist in deiner Rechnung ein Fehler. Die müßtest du dann mal hier hinschreiben.

14.11.2011, 11:00

chrlan1

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also müsste a_n so gehen.
werde es nochmal versuchen.
wie mache ich das denn bei b_n, c_n und d_n?

14.11.2011, 11:18

chrlan1

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hab es für a_n nochmal durchgerechnet. hab mich wirklich irgendwo vertan. komme jetzt auf 0,2.
bräuchte trotzdem nochmal hilfe bei den anderen.
danke

14.11.2011, 14:09

klarsoweit

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RE: grenzwert von konkreten folgen
Bei b_n würde ich mal $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2 +1} \end{eqnarray*}$ betrachten und die Bernoullische Ungleichung anwenden.

Bei d_n könnte man sich fragen, ob das Ding Teilfolgen hat, die gegen unterschiedliche Grenzwerte konvergieren.

Bei c_n habe ich momentan keine Idee.

15.11.2011, 10:50

chrlan1

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stoß ich dann nicht auf einen anderen grenzwert bei b_n?
komme mit der d_n trotzdem nicht klar.
hat vllt einer eine idee für c_n?

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15.11.2011, 11:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von chrlan1
stoß ich dann nicht auf einen anderen grenzwert bei b_n?

Was willst du mit damit sagen? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von chrlan1
komme mit der d_n trotzdem nicht klar.

Dann gib doch mal die ersten 8 Folgenglieder an.

15.11.2011, 11:28

chrlan1

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für:
n=0 2
n=1 2
n=2 0
n=3 0
n=4 0
n=5 0
n=6 2
n=7 2
n=8 2
n=9 2
n=10 0
.
.
.

Also hat das keinen Grenzwert?
wie kann ich das beweisen?

15.11.2011, 11:37

klarsoweit

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RE: grenzwert von konkreten folgen
Siehe hier:

Zitat:

Original von klarsoweit
Bei d_n könnte man sich fragen, ob das Ding Teilfolgen hat, die gegen unterschiedliche Grenzwerte konvergieren.

Übrigens sind wohl die Werte für n=6 und n=7 falsch gerechnet.

15.11.2011, 12:53

chrlan1

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stimmt.
da wäre es (-2).
wie mache ich das denn mit den teilfolgen?

15.11.2011, 13:01

klarsoweit

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Dir müßte doch ein Muster auffallen, wann du zum Beispiel immer den Wert 2 rausbekommst. Das wäre dann doch auch eine schöne Teilfolge mit einem netten Grenzwert. smile

smile

15.11.2011, 15:10

Calahan

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RE: grenzwert von konkreten folgen
Bei $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ könntest Du die Fälle

$\begin{eqnarray*} a<1\\ a=1\\a>1 \end{eqnarray*}$

unterscheiden und jeweils geeignet abschätzen.

15.11.2011, 18:21

chrlan1

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das muster ist mir aufgefallen, kann allerdings die teilfolge nicht aufstellen

15.11.2011, 18:56

chrlan1

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nur abschätzen geht auch nicht ich muss es ja zeigen.
sonst würde ich sagen bei c_n:
n kleiner als 1 gehts gegen unendlich
n gleich 1 gehts gegen 0
und n größer als 1 gehts gegen 0

15.11.2011, 19:40

Calahan

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Zitat:

Original von chrlan1
nur abschätzen geht auch nicht ich muss es ja zeigen.

Was willst Du damit sagen? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von chrlan1
sonst würde ich sagen bei c_n:
a kleiner als 1 gehts gegen unendlich

Sicher?

Betrachte:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^n}{(1+a)(1+a^2)\cdot\ldots\cdot(1+a^n)}=\prod_{k=1}^n\frac a{1+a^k}\leq\prod_{k=1}^na=a^n\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 0\text{ falls }a<1. \end{eqnarray*}$

16.11.2011, 20:36

Zvirn91

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hallo, tut mir leid dass ich diesen thread nochmal nach oben hole. aber ich sitze an der gleichen aufgaben. ich hoffe wir können hier trotzdem noch weitermachen smile

smile

meine frage zu $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ :
kann ich da auch nur die konvergenz für $\begin{eqnarray*} b'_n= \frac {n}{n+1} \end{eqnarray*}$ betrachten? dies wäre für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ doch 1. und somit würde das ganze teil gegen 1 konvergieren?! verwirrt

verwirrt

kann ich das so machen?

ich hoffe ihr helft mir auch wenn ich nicht der eigentliche fragensteller bin Gott

Gott

16.11.2011, 21:38

Zvirn91

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keiner mehr hier der mir heute abend n och schnell helfen kann?

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