Summierte Quadraturformel

14.11.2011, 13:06	SteveTheBuscemi	Auf diesen Beitrag antworten »
Summierte Quadraturformel Meine Frage: Hallo Matheboard, ich weiss nicht, ob ich folgende Aufgabe so lösen kann: Sei $\begin{eqnarray} f:[0,4\pi] \in x -> sin(x) \end{eqnarray}$ und das Integral $\begin{eqnarray} \int_0^{4\pi} \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ werde durch die summierte Sehnentrapez- und die summierte Simpsonformel approximiert. Wie klein muss die Schrittweite h jeweils gewählt werden, um mit Hilfe der jeweiligen Restgliedabschätzungen sichern zu können, dass der Quadraturfehler weniger als 1/100000 beträgt? Meine Ideen:* i) Sehnentrapezformel: $\begin{eqnarray} <br /> \|E(f)\| \leq (b-a)h^{2}/12 * max \|f^{(2)}(x)\|, a\leq x\leq b <br /> <br /> \Rightarrow 4\pi h^{2}/12 * max \|-sin(x)\|<br /> = \pi* h^{2}/ 3 \leq 1/100000<br /> <br /> \Leftarrow\Rightarrow h^{2} \leq \frac{3}{10000\pi } <br /> \Leftarrow\Rightarrow h \leq \frac{1}{100}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}} \leq \frac{1}{100}<br /> \end{eqnarray}$ Also muss die Schrittweite kleiner als 1/100 sein. ii) Simponsformel $\begin{eqnarray} <br /> \|E(f)\|\leq (b-a)h^{4}/2880 * max \|f^{(4)}(x)\|, a\leq x\leq b <br /> <br /> \Rightarrow 4\pi * h^{4}/2880 \leq 1/10000<br /> \Leftarrow\Rightarrow h^{4} \leq \frac{2880}{100004\pi}=\frac{9}{125\pi}<br /> \Leftarrow\Rightarrow h \leq 0.389<br /> \end{eqnarray}$ Die Schrittweite muss kleiner als 0,389 sein. Vielen Dank für eure Hilfe. Steve

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »