Fréchetmetrik

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14.11.2011, 13:16	Kalifornikation	Auf diesen Beitrag antworten »
Fréchetmetrik Meine Frage: Sei die Menge $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ gegeben. Ist $\begin{eqnarray} d(x,y) := \|arctan(x) - arctan(y)\| \end{eqnarray}$ ein metrischer Raum und wenn ja, vollständig? Meine Ideen: Ich könnte jetzt die Axiome für eine Metrik aufzählen. Aber meine Schwierigkeit liegt gerade darin diese anzuwenden. Ich brauche Hilfe!
14.11.2011, 13:22	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber bitte tu genau das: Schreibe die Axiome für die Metrik auf und versuche sie anzuwenden. An dem Punkt, wo du nicht weiterweißt, hörst du auf und stellst eine konkrete Frage . Also: Erstes Axiom?
14.11.2011, 13:41	Kalifornikation	Auf diesen Beitrag antworten »
ups, grad gemerkt, dass die Überschrift von einer anderen Aufgabe ist, kannst du die ändern? also das 1. Axiom ist doch: (M1) $\begin{eqnarray} d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y \end{eqnarray}$ " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ " hmm also sei $\begin{eqnarray} \|arctan(x) - arctan(y)\| = 0 \end{eqnarray}$ und schon komm ich nicht mehr weiter wenn der betrag nicht da wäre könnte mal tan auf beiden seiten machen
14.11.2011, 13:43	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst ja mal ohne Beschränkung der Allgemeinheit $\begin{eqnarray} x \geq y \end{eqnarray}$ annehmen. Und jetzt überleg dir was zur Monotonie des Arcustangens und was dann mit dem Betrag passiert.
14.11.2011, 13:52	Kalifornikation	Auf diesen Beitrag antworten »
Arkustangens ist streng monoton steigend, das heißt, wenn 1.) $\begin{eqnarray} x \geq y \end{eqnarray}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray} arctan(x) \geq arctan(y) \end{eqnarray}$ , dann könnte ich den Betrag weglassen. 2.) Wenn $\begin{eqnarray} x \leq y \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} arctan(x) \leq arctan(y) \end{eqnarray}$ , dann würde ich den Betrag ziehen und lande wieder beim 1.) also kann ich den Betrag wegmachen, und dann umformen: $\begin{eqnarray} \|arctan(x) - arctan(y)\| = 0 \Leftrightarrow arctan(x) - arctan(y) = 0 \Leftrightarrow arctan(x) = arctan(y) \Leftrightarrow x=y \end{eqnarray}$ ists so ok?
14.11.2011, 14:25	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Unter Benutzung der Bijektivität des Arkustanges, ja.
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14.11.2011, 14:27	Kalifornikation	Auf diesen Beitrag antworten »
yeah danke die Rückrichtung muss ich aber auch zeigen, oder?
14.11.2011, 14:32	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Schieß los! Und dann das zweite Axiom.
14.11.2011, 14:33	Kalifornikation	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab davor noch ne kurze Frage dazu, was du mit Bijektivität des Arkustangens meinst?
14.11.2011, 14:42	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Gleichungsoperation $\begin{eqnarray} \arctan(x) = \arctan(y)\, \Rightarrow \, x = y \end{eqnarray}$ funktioniert natürlich nur, wenn man weiß, dass der Arkustangens bijektiv ist.
14.11.2011, 14:43	Kalifornikation	Auf diesen Beitrag antworten »
ps: ich weiß natürlich was Bijektivität ist
14.11.2011, 14:45	Kalifornikation	Auf diesen Beitrag antworten »
achso ok, also Arkustangens ist bijektiv, weil streng monoton wachsend. Dann mach ich mich jetzt an das 2. Axiom bis gleich
14.11.2011, 14:59	Kalifornikation	Auf diesen Beitrag antworten »
vorher noch " $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ " Sei eration $\begin{eqnarray} x = y \Leftrightarrow arctan(x) = arctan(y) \Leftrightarrow arctan(x) - arctan(y)=0 \Leftrightarrow \|arctan(x) - arctan(y)\|=0 \end{eqnarray}$ stimmt das so?
14.11.2011, 15:08	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Bemerkung: Du solltest hier aufpassen mit der Rückrichtung, die du durch die Doppelrichtung von $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ implizierst. Du möchtest ja nur eine Richtung zeigen, nämlich $\begin{eqnarray} x = y \Rightarrow \cdots \Rightarrow \arctan(x) = \arctan(y) \end{eqnarray}$ . Hier also nur einfach gerichtete Pfeile zu setzen, wäre also mathematisch "sauberer/eleganter/unproblematischer", je nachdem, wie untrivial die andere Richtung jeweils ist. Allerdings hast du die andere Richtung ja schon gezeigt, was deine Doppelpfeile also erlaubt, aber wiederum auch überflüssig macht.
14.11.2011, 15:22	Kalifornikation	Auf diesen Beitrag antworten »
ah danke! Also war in meiner Hinrichtung die Rückrichtung schon drin, weil man das was ich da geschrieben habe, auch rückwärts lesen kann?
14.11.2011, 15:31	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ja, aber das geht nur deswegen, weil die Schritte vorher schon von dir bewiesen waren. Ansonsten darfst du ohne Beweis nicht einfach die Rückrichtung einzeichnen. Ein Beispiel: Beweise, dass $\begin{eqnarray} x = 1\Leftrightarrow x^2 = 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in R \end{eqnarray}$ gilt. (Das ist offensichtlich falsch) Man könnte jetzt versucht sein, zu schreiben: Hinrichtung $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x = 1 \Leftrightarrow x \cdot x = 1 \cdot 1 = 1 \Leftrightarrow x^2 = 1 \end{eqnarray}$ . Und dann behauptet man einfach, weil die Pfeile in die andere Richtung auch gehen, gilt auch die Rückrichtung. Das ist aber falsch, weil der erste Äquivalenzpfeil eben NICHT nach links zeigen darf. Daher: Wenn du nur eine Richtung zeigst, empfiehlt es sich, die Pfeile nur in "Beweisrichtung" zu zeichnen, weil man gerne mal einen Schritt macht, der trivial in die eine, aber falsch in die andere Richtung ist.
14.11.2011, 16:01	Kalifornikation	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen vielen Dank Duedi! zz: $\begin{eqnarray} \|arctan(x) - arctan(y)\| \leq \|arctan(x) - arctan(z)\| + \|arctan(z) - arctan(y)\| \end{eqnarray}$ . kann ich annehmen, dass $\begin{eqnarray} x\geq z \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} z\geq y \Rightarrow x\geq y \end{eqnarray}$ ? (damit ich die Beträge wegkrieg)
14.11.2011, 16:08	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das brauchst du gar nicht: Füge ein künstliches $\begin{eqnarray} -\arctan(z) + \arctan(z) \end{eqnarray}$ ein (das ist ein gängiger Trick bei Dreiecksungleichungen)
14.11.2011, 16:20	Kalifornikation	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiß was du meinst Aber wo füge ich das ein? Ich sehe gerade nicht, wo mir das was bringen kann. Kannst du mir einen kleinen Tipp geben? (Tut mir leid, ich muss wohl gerade so herüberkommen, als ob ich fast nichts könnte... )
14.11.2011, 16:22	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Fang mit dem Anfang an $\begin{eqnarray} d(x,y) = \|\arctan(x) - \arctan(y)\| = \|\arctan(x) - \arctan(z) + \arctan(z) - \arctan(y)\| \end{eqnarray}$
14.11.2011, 16:49	Kalifornikation	Auf diesen Beitrag antworten »
oh maaan! Natürlich! ohhhh danke! Ich kürze einmal die Arkustangens ab damit es übersichtlicher wird: $\begin{eqnarray} \|t'x - t'y\| \leq \|t'x - t'z\| + \|t'z - t'y\| \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|t'x - t'z + t'z - t'y\| \leq \|t'x - t'z\| + \|t'z - t'y\| \end{eqnarray}$ Setze: $\begin{eqnarray} t'x - t'z := a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t'z - t'y := b \end{eqnarray}$ . Dann habe ich \|a+b\|<=\|a\|+\|b\|. Und das stimmt wegen der Dreiecksungleichung Habe ich recht?
14.11.2011, 17:12	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee ist zwar nicht falsch, du machst aber wieder was Gefährliches mit den Doppelpfeilen: Du formst die Ungleichung, die du zeigen möchtest, Schritt für Schritt in eine wahre Aussage um. Das ist aber nur dann gültig, wenn alle Umformungen Äquivalenzrelationen sind (also die Rückrichtung gilt). Damit hast du dasselbe Problem wie bereits angesprochen: Du musst in jedem Schritt dafür sorgen, dass die Rückrichtung erfüllt ist. Mach dir das Leben leichter und forme keine "zu zeigende" Ungleichung um, sondern forme einen Term so lange mit TERMumformungen um, bis die zu zeigende Form über eine Ungleichungskette da steht.
14.11.2011, 18:10	Kalifornikation	Auf diesen Beitrag antworten »
Echt? Schon wieder? Mist Ich habe aber nur einen Äquivalenzpfeil benutzt und dachte der stimmt....: $\begin{eqnarray} \|t'x - t'y\| \leq \|t'x - t'z\| + \|t'z - t'y\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|t'x - t'z + t'z - t'y\| \leq \|t'x - t'z\| + \|t'z - t'y\| \end{eqnarray}$
14.11.2011, 18:40	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Am Besten, du benutzt überhaupt keine Äquivalenzpfeile
14.11.2011, 21:06	Kalifornikation	Auf diesen Beitrag antworten »
ist gebongt

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