Grenzwert von Reihen

14.11.2011, 14:06

Turbotobs

Grenzwert von Reihen

Hallo,
ich konnte letzte Woche nicht in die Übung gehen und jetzt hab ich ein Probleme mit meinem aktuellen Übungsblatt.

Aufgabe: Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Reihen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2n+3}{3n^{2}+1} \end{eqnarray*}$

Ich weiß überhaupt nicht wie ich da rangehen muss. Da die Folge, die dahinter steckt ne Nullfolge ist, würde ich sagen die Reihe konvergiert auf jedenfall. Aber wie zeig ich das? Bzw. wie krieg ich raus gegen was die Reihe konvergiert?

Vielen Dank für eure Hilfe!

14.11.2011, 14:10

Mulder

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RE: Grenzwert von Reihen

Zitat:

Original von Turbotobs
Da die Folge, die dahinter steckt ne Nullfolge ist, würde ich sagen die Reihe konvergiert auf jedenfall.

Dass die Folge eine Nullfolge ist, ist eine notwendige Bedingung, das ist aber nicht hinreichend. Das populärste Beispiel dafür ist die harmonische Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Diese Reihe divergiert. Deine Reihe ist dieser übrigens gar nicht unähnlich, versuch mal, passend abzuschätzen. Das Stichwort ist hier also das Minorantenkriterium.

14.11.2011, 14:28

Turbotobs

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RE: Grenzwert von Reihen
Zu zeigen wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2n+3}{3n^{2}+1} \geq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Ich hab jetzt mal:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2n+3}{3n^{2}+1} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2 + \frac{3}{n} }{3+\frac{1}{n^{2}} } * \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

und dachte ich zeige jetzt, dass der erste Faktor in der Reihe immer größer gleich 1 ist. Weiß aber nicht wie. Ich glaub so komm ich vom hundersten ins tausendste. Gibts nen einfacheren Weg?

15.11.2011, 11:17

Turbotobs

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Keiner der weiterhelfen kann?

15.11.2011, 11:33

Mulder

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RE: Grenzwert von Reihen

Zitat:

Original von Turbotobs
und dachte ich zeige jetzt, dass der erste Faktor in der Reihe immer größer gleich 1 ist. Weiß aber nicht wie.

Das ist doch auch kein Wunder. Dieser Faktor geht - und das sollte man sehen - für große n gegen 2/3, wie soll er also strikt größer 1 sein?

Sei doch ein bisschen kreativ. Die harmonische Reihe kann man auch mit konstanten Faktoren multiplizieren, dann divergiert sie immer noch. Auch kann man den Bruch beliebig verändern, solange man in die richtige Richtung abschätzt. In diesem Fall kannst du also den Nenner vergrößern oder den Zähler verkleinern. In beiden Fällen wird der Bruch kleiner und man kann eine leichter zu handhabende Reihe ansteuern (in diesem Fall dann eben eine divergente Minorante).

Ansonsten haben wir hier gerade aktuell genau die gleiche Fragestellung.

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