injektiven Gruppenhomomorphismus der quaternionengruppe?

14.11.2011, 19:14

Penelope91

injektiven Gruppenhomomorphismus der quaternionengruppe?

Meine Frage:
Hallo ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Meine Ideen:
Sei Q die Quaternionengruppe (Q mit 8 Elementen) und G=SL(2,C). Bestimme einen injektiven Gruppenhomomorphismus von Q-->G

Womit fange ich da am besten an?

14.11.2011, 19:36

Leopold

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In welcher Form kennst du die Quaternionengruppe? In der Form mit den drei imaginären Einheiten $\begin{eqnarray*} \operatorname{i}, \operatorname{j}, \operatorname{k} \end{eqnarray*}$ ? Oder anders?

15.11.2011, 18:45

Penelope91

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Ja genau wir hatten die 8 elementige Menge mit +-i,j,k.
Dazu haben wir aber bisher nur eine Gruppentafel erstellt.

15.11.2011, 18:52

Leopold

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Ich weiß jetzt ehrlich gesagt nicht, wie man da ohne Vorwissen alleine darauf kommen will. Aber vielleicht rechnest du einfach einmal mit den Matrizen

$\begin{eqnarray*} E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \ \ I = \begin{pmatrix} \operatorname{i} & 0 \\ 0 & - \operatorname{i} \end{pmatrix} , \ \ J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} , \ \ K = \begin{pmatrix} 0 & - \operatorname{i} \\ - \operatorname{i} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

herum. Hierbei ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ die komplexe imaginäre Einheit.

15.11.2011, 19:13

Penelope91

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Aber wie soll ich daraus einen injektiven Gruppenhomomorphismus machen?

15.11.2011, 19:19

Leopold

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Hast du schon einmal mit den Matrizen gerechnet? Zum Beispiel $\begin{eqnarray*} I^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} IJ \end{eqnarray*}$ ?

15.11.2011, 20:29

Penelope91

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Wir sollten nur mal auf einem Übungsblatt die Gruppentafel davon bestimmen.Danach haben wir nichts mehr damit gemacht

15.11.2011, 20:32

Leopold

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Mein Gott! Und dann fragst du?
Dann ist die Aufgabe ja schon gelöst! Fällt dir nämlich nichts auf, wenn du die beiden Gruppentafeln miteinander vergleichst?

15.11.2011, 20:45

Penelope91

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Irgendwie stehe ich wohl gerade auf dem Schlauch:///Welche beiden meinst du denn?ich hab doch nur die eine oder?

15.11.2011, 20:48

Leopold

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FRAGE

Zitat:

Original von Leopold
Hast du schon einmal mit den Matrizen gerechnet? Zum Beispiel $\begin{eqnarray*} I^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} IJ \end{eqnarray*}$ ?

ANTWORT

Zitat:

Original von Penelope91
Wir sollten nur mal auf einem Übungsblatt die Gruppentafel davon bestimmen.Danach haben wir nichts mehr damit gemacht

Gerade hast du mir gesagt, du habest die Gruppentafel für die Matrizen $\begin{eqnarray*} \pm E, \pm I, \pm J, \pm K \end{eqnarray*}$ aufgestellt. Hast du das nun gemacht oder nicht?

15.11.2011, 20:49

Penelope91

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ja genau das habe ich gemacht, aber das ist doch nur eine?

15.11.2011, 20:53

Leopold

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FRAGE

Zitat:

Original von Leopold
In welcher Form kennst du die Quaternionengruppe? In der Form mit den drei imaginären Einheiten $\begin{eqnarray*} \operatorname{i}, \operatorname{j}, \operatorname{k} \end{eqnarray*}$ ? Oder anders?

ANTWORT

Zitat:

Original von Penelope91
Ja genau wir hatten die 8 elementige Menge mit +-i,j,k.
Dazu haben wir aber bisher nur eine Gruppentafel erstellt.

Und was ist mit $\begin{eqnarray*} \pm 1, \pm \operatorname{i}, \pm \operatorname{j} , \pm \operatorname{k} \end{eqnarray*}$ , wovon wir anfangs sprachen?

15.11.2011, 20:59

Penelope91

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Achso okay jetzt verstehe ich es.Tut mir leid.
also ich habe nur die Tafel mit +-1 +-i +-j +-k aufgestellt

15.11.2011, 21:02

Leopold

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Also die mit den Matrizen noch nicht? Dann multipliziere die 8 Matrizen einmal miteinander. Gehe ökonomisch vor. Verwende schon Bekanntes für die jeweils neuen Rechnungen.

15.11.2011, 21:17

Penelope91

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Okay das hab ich jetzt gemacht:

ij=k, ji=-k
jk=i kj=-i
ki=j ik=-j

15.11.2011, 21:20

Leopold

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Jetzt bringst du mich schon wieder durcheinander. Redest du jetzt von den Matrizen (Großbuchstaben) oder von den Hamiltonschen Bezeichnungen (Kleinbuchstaben)? Du kannst das nicht machen, wie du gerade Lust drauf hast.

15.11.2011, 21:41

Penelope91

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Ich habe jetzt die Matrizen multipliziert die du mir vorhin genannt hast(also die Großbuchstaben)

16.11.2011, 14:41

Leopold

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Und wenn du das auch mit den andern noch machst, z.B. $\begin{eqnarray*} I^2, (-I)K \end{eqnarray*}$ usw., dann wirst du feststellen, daß du dieselbe Gruppentafel wie bei der Quaternionenmultiplikation bekommst, nur mit Großbuchstaben anstatt Kleinbuchstaben und mit $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Damit ist die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \varphi: \ Q \to \operatorname{SL}(2,\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$

die Kleinbuchstaben durch Großbuchstaben und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ersetzt, wobei eventuelle Vorzeichen erhalten bleiben, der gesuchte Gruppenmonomorphismus. Natürlich ist noch nachzuweisen, daß die Matrizen tatsächlich die Determinante $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ besitzen, was aber nicht schwer ist.

Ich gebe zu, daß diese Lösung ein bißchen "vom Himmel fällt". Denn ohne daß ich dir die vier Matrizen genannt hätte (die ich selber auch wieder in einem Buch nachgeschlagen habe), hätten wir das nie hinbekommen. Auf der anderen Seite weiß ich nicht, wie man von selber auf die Matrizen kommen soll.
Aber vielleicht weißt du auch mehr über Quaternionen und $\begin{eqnarray*} \operatorname{SL}(2,\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ , als dir im Moment bewußt ist, vielleicht aus früheren Übungsaufgaben, so daß es dir doch möglich gewesen wäre, auf diese Lösung zu kommen. Da kann ich dir nicht helfen, da mußt du schon selber in deinen Unterlagen nachschauen.

16.11.2011, 15:41

Penelope91

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Erstmal VIELEN DANK für deine Bemühungen und deiner Geduld=)
Ich habe dass jetzt soweit alles aufgeschrieben und auch gezeigt, dass die Matrizen die Determinate 1 haben.
Aber war das jetzt alles um den injektiven Gruppenhomomorphismus zu bestimmen?

16.11.2011, 20:12

Leopold

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Die Injektivität ist klar, denn $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ändert ja nur klein in groß, z.B. $\begin{eqnarray*} \varphi(-\operatorname{k}) = -K \end{eqnarray*}$ . So wurde es gerade definiert. Aus den 8 verschiedenen Quaternionen werden 8 verschiedene Matrizen.

Warum ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus? Zu zeigen wäre ja: $\begin{eqnarray*} \varphi(xy) = \varphi(x) \varphi(y) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in Q \end{eqnarray*}$

Ich illustriere das am Beispiel $\begin{eqnarray*} x = \operatorname{k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = \operatorname{j} \end{eqnarray*}$ .

Zuerst die linke Seite: $\begin{eqnarray*} \varphi(\operatorname{k} \operatorname{j}) = \varphi(- \operatorname{i}) = -I \end{eqnarray*}$

Dann die rechte Seite: $\begin{eqnarray*} \varphi(\operatorname{k}) \varphi(\operatorname{j}) = KJ = -I \end{eqnarray*}$

Und das ist dasselbe. Es liegt natürlich daran, daß beide Systeme dieselbe Gruppentafel haben (ich hoffe, du hast das bei den Matrizen wirklich nachgerechnet, sonst ist der Beweis nicht gültig), bis auf die Tatsache, daß das eine Mal große, das andere Mal kleine Buchstaben da stehen. Wenn du nur die Untergruppe $\begin{eqnarray*} Q^{*} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \operatorname{SL}(2,\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ betrachtest, die aus den 8 Matrizen besteht, dann ist $\begin{eqnarray*} \varphi: Q \to Q^{*} \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus. Letztlich ist ein Isomorphismus nie etwas anderes als eine 1-zu-1-Umbenennung der Gruppenelemente. Hauptsache, die Struktur, also die Beziehungen der Elemente untereinander, bleibt erhalten. Und diese Struktur ist in der Gruppentafel festgehalten.

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