injektiven Gruppenhomomorphismus der quaternionengruppe? |
14.11.2011, 19:14 | Penelope91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
injektiven Gruppenhomomorphismus der quaternionengruppe? Hallo ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe: Meine Ideen: Sei Q die Quaternionengruppe (Q mit 8 Elementen) und G=SL(2,C). Bestimme einen injektiven Gruppenhomomorphismus von Q-->G Womit fange ich da am besten an? |
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14.11.2011, 19:36 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In welcher Form kennst du die Quaternionengruppe? In der Form mit den drei imaginären Einheiten ? Oder anders? |
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15.11.2011, 18:45 | Penelope91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja genau wir hatten die 8 elementige Menge mit +-i,j,k. Dazu haben wir aber bisher nur eine Gruppentafel erstellt. |
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15.11.2011, 18:52 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich weiß jetzt ehrlich gesagt nicht, wie man da ohne Vorwissen alleine darauf kommen will. Aber vielleicht rechnest du einfach einmal mit den Matrizen herum. Hierbei ist die komplexe imaginäre Einheit. |
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15.11.2011, 19:13 | Penelope91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber wie soll ich daraus einen injektiven Gruppenhomomorphismus machen? |
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15.11.2011, 19:19 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hast du schon einmal mit den Matrizen gerechnet? Zum Beispiel oder ? |
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15.11.2011, 20:29 | Penelope91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir sollten nur mal auf einem Übungsblatt die Gruppentafel davon bestimmen.Danach haben wir nichts mehr damit gemacht |
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15.11.2011, 20:32 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mein Gott! Und dann fragst du? Dann ist die Aufgabe ja schon gelöst! Fällt dir nämlich nichts auf, wenn du die beiden Gruppentafeln miteinander vergleichst? |
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15.11.2011, 20:45 | Penelope91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Irgendwie stehe ich wohl gerade auf dem Schlauch:///Welche beiden meinst du denn?ich hab doch nur die eine oder? |
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15.11.2011, 20:48 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
FRAGE
ANTWORT
Gerade hast du mir gesagt, du habest die Gruppentafel für die Matrizen aufgestellt. Hast du das nun gemacht oder nicht? |
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15.11.2011, 20:49 | Penelope91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja genau das habe ich gemacht, aber das ist doch nur eine? |
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15.11.2011, 20:53 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
FRAGE
ANTWORT
Und was ist mit , wovon wir anfangs sprachen? |
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15.11.2011, 20:59 | Penelope91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso okay jetzt verstehe ich es.Tut mir leid. also ich habe nur die Tafel mit +-1 +-i +-j +-k aufgestellt |
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15.11.2011, 21:02 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also die mit den Matrizen noch nicht? Dann multipliziere die 8 Matrizen einmal miteinander. Gehe ökonomisch vor. Verwende schon Bekanntes für die jeweils neuen Rechnungen. |
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15.11.2011, 21:17 | Penelope91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay das hab ich jetzt gemacht: ij=k, ji=-k jk=i kj=-i ki=j ik=-j |
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15.11.2011, 21:20 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt bringst du mich schon wieder durcheinander. Redest du jetzt von den Matrizen (Großbuchstaben) oder von den Hamiltonschen Bezeichnungen (Kleinbuchstaben)? Du kannst das nicht machen, wie du gerade Lust drauf hast. |
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15.11.2011, 21:41 | Penelope91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe jetzt die Matrizen multipliziert die du mir vorhin genannt hast(also die Großbuchstaben) |
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16.11.2011, 14:41 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und wenn du das auch mit den andern noch machst, z.B. usw., dann wirst du feststellen, daß du dieselbe Gruppentafel wie bei der Quaternionenmultiplikation bekommst, nur mit Großbuchstaben anstatt Kleinbuchstaben und mit statt . Damit ist die Abbildung die Kleinbuchstaben durch Großbuchstaben und durch ersetzt, wobei eventuelle Vorzeichen erhalten bleiben, der gesuchte Gruppenmonomorphismus. Natürlich ist noch nachzuweisen, daß die Matrizen tatsächlich die Determinante besitzen, was aber nicht schwer ist. Ich gebe zu, daß diese Lösung ein bißchen "vom Himmel fällt". Denn ohne daß ich dir die vier Matrizen genannt hätte (die ich selber auch wieder in einem Buch nachgeschlagen habe), hätten wir das nie hinbekommen. Auf der anderen Seite weiß ich nicht, wie man von selber auf die Matrizen kommen soll. Aber vielleicht weißt du auch mehr über Quaternionen und , als dir im Moment bewußt ist, vielleicht aus früheren Übungsaufgaben, so daß es dir doch möglich gewesen wäre, auf diese Lösung zu kommen. Da kann ich dir nicht helfen, da mußt du schon selber in deinen Unterlagen nachschauen. |
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16.11.2011, 15:41 | Penelope91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Erstmal VIELEN DANK für deine Bemühungen und deiner Geduld=) Ich habe dass jetzt soweit alles aufgeschrieben und auch gezeigt, dass die Matrizen die Determinate 1 haben. Aber war das jetzt alles um den injektiven Gruppenhomomorphismus zu bestimmen? |
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16.11.2011, 20:12 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Injektivität ist klar, denn ändert ja nur klein in groß, z.B. . So wurde es gerade definiert. Aus den 8 verschiedenen Quaternionen werden 8 verschiedene Matrizen. Warum ist ein Homomorphismus? Zu zeigen wäre ja: für alle Ich illustriere das am Beispiel und . Zuerst die linke Seite: Dann die rechte Seite: Und das ist dasselbe. Es liegt natürlich daran, daß beide Systeme dieselbe Gruppentafel haben (ich hoffe, du hast das bei den Matrizen wirklich nachgerechnet, sonst ist der Beweis nicht gültig), bis auf die Tatsache, daß das eine Mal große, das andere Mal kleine Buchstaben da stehen. Wenn du nur die Untergruppe von betrachtest, die aus den 8 Matrizen besteht, dann ist ein Isomorphismus. Letztlich ist ein Isomorphismus nie etwas anderes als eine 1-zu-1-Umbenennung der Gruppenelemente. Hauptsache, die Struktur, also die Beziehungen der Elemente untereinander, bleibt erhalten. Und diese Struktur ist in der Gruppentafel festgehalten. |
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