Teilkörper/Unterkörper

14.11.2011, 20:54

DudiPupan

Teilkörper/Unterkörper

Guten Abend,
ich sitze gerade an folgender Aufgabe und finde einfach keinen Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q [\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ sei dfninert als: $\begin{eqnarray*} \left\{ a + b \sqrt{2}|a,b \in \mathbb Q \right\} \end{eqnarray*}$ .
Ich soll nun Zeigen, dass $\begin{eqnarray*} ( \mathbb Q [ \sqrt{2} ], + , \cdot) \end{eqnarray*}$ Teilkörper von $\begin{eqnarray*} ( \mathbb R , + \cdot ) \end{eqnarray*}$ ist und + und $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ die gewöhnliche Addition und Multiplikation reeler Zahlen bezeichnet.

Aber was muss ich nachweisen um zu zeigen, dass ein Körper ein Teilkörper eines anderen körpers ist?
Muss ich auch erst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} ( \mathbb Q , + , \cdot) \end{eqnarray*}$ ein Körper ist?

14.11.2011, 21:28

Math1986

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RE: Teilkörper/Unterkörper

Zitat:

Original von DudiPupan

Aber was muss ich nachweisen um zu zeigen, dass ein Körper ein Teilkörper eines anderen körpers ist?
Muss ich auch erst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} ( \mathbb Q , + , \cdot) \end{eqnarray*}$ ein Körper ist?

Du musst zeigen, dass es ein Teilkörper von $\begin{eqnarray*} ( \mathbb R , + , \cdot) \end{eqnarray*}$ ist, d.h. die Verknüpfungen übertragen sich auf den Unterraum.

Mit dem Körper $\begin{eqnarray*} ( \mathbb Q , + , \cdot) \end{eqnarray*}$ hat dies direkt nichts zu tun.

14.11.2011, 21:44

DudiPupan

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Sorry, das sollte $\begin{eqnarray*} ( \mathbb Q [ \sqrt{2} ] , + , \cdot ) heißen! \end{eqnarray*}$

Also ich habe die Axiome jetzt mal nachgeschlagen und bin auf folgenden Weg gekommen:

i) Neutrales Element von $\begin{eqnarray*} ( \mathbb R , + , \cdot ) \end{eqnarray*}$ bezüglich der multiplikation ist ja 1, d.h. 1 muss in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [ \sqrt{2} ] \end{eqnarray*}$ liegen.
Das tut es auch, da für $\begin{eqnarray*} a + b \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mit a,b \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ für a=1 und b=0.

ii) Es muss gelten: $\begin{eqnarray*} a+b \in \mathbb Q [ \sqrt{2} ] \end{eqnarray*}$
iii) Es muss gelten: $\begin{eqnarray*} a \cdot b \in \mathbb Q [ \sqrt{2} ] \end{eqnarray*}$
iv) die multiplikative Inverse muss in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [ \sqrt{2} ] \end{eqnarray*}$ sein.

Stimmt das soweit?

14.11.2011, 21:59

Math1986

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Ja, und zusätzlich muss auch das additive Inverse darin liegen

14.11.2011, 22:17

DudiPupan

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okay, zu ii) hätte ich:

$\begin{eqnarray*} (a+b \sqrt{2}) + (c +d\sqrt{2}) = (a+c) + (b+d)\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und da
$\begin{eqnarray*} (a+c),(b+d) \in \mathbb Q \forall a,b,c,d \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gilt, passt das ja.

analog habe ich das für die iii)

und für iv) habe ich :

$\begin{eqnarray*} (a+b \sqrt{2} ) \cdot (c + d \sqrt{2} ) = (2bd +ac) + (ad + bc) \sqrt{2} = 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a,c = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \cdot d = 0,5 \end{eqnarray*}$

Passt das soweit?

14.11.2011, 22:25

Math1986

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Ja, das stimmt.

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