Integration, Vorgehensweise (Winkelgeschwindigkeit)

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14.11.2011, 20:16

naphtalene

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Integration, Vorgehensweise (Winkelgeschwindigkeit)

Hallo miteinander! Wink

Ich sitze grade an einer Physikaufgabe und komm nicht weiter.

Im Prinzip geht es um den zeitabhängigen Radius einer Spirale. (Eine CD dreht sich im Laufwerk). Der Radius vergrößert sich bei jeder Umdrehung um h.

Die Geschwindigkeit ist gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} v=r_t * \omega = (r_i + \frac{h\theta}{2\pi} ) * \frac{d\theta}{dt} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{v}{(r_i + \frac{h\theta}{2\pi} )} \end{eqnarray*}$

-----------------------------------

Jetzt muss ich diesen Ausdruck nach t integrieren. Aber wie? Ich habe da gerade echt ein Brett vorm Kopf...

$\begin{eqnarray*} \int \! \omega \, dt = \int \! \frac{v}{r_i+\frac{h\theta}{2\pi}} \, dt = ??? \end{eqnarray*}$

Würde mich über Hilfe freuen!

14.11.2011, 21:14

Dopap

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RE: Integration, Vorgehensweise (Winkelgeschwindigkeit)

Zitat:

Original von naphtalene

Die Geschwindigkeit ist gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} v=r_t * \omega = (r_i + \frac{h\theta}{2\pi} ) * \frac{d\theta}{dt} \end{eqnarray*}$

v_0 soll die Bahngeschwindigkeit des Lesekopfes sein. Eine Konstante.

Das $\begin{eqnarray*} \int_0^t \omega(z) dz \end{eqnarray*}$

macht nur dann Sinn, wenn der Gesamtdrehwinkel in Abhängigkeit vob der Zeit gesucht ist.
Ist das so?

14.11.2011, 21:19

naphtalene

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Jap, so ists. Zitat Aufgabenstellung: "...use integration to find an expression for the angle theta as a fuction of time."

Da die Winkelgeschwindigkeit, wie auch die Winkelbeschleunigung nicht konstant sind komm ich irgendwie nicht weiter. Ich kann theta ja nicht einfach durch omega*t ersetzen oder dergleichen. Auch das auswechseln von dt mit dtheta/omega bringt mich ja nicht weiter... Das wärn so meine Ansätze, aber ich denke da bewege ich mich in die falsche Richtung.

14.11.2011, 21:53

Dopap

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verständlich.

$\begin{eqnarray*} v_0=(r_i+\frac h {2\pi} \theta(t))\dot \theta(t) \end{eqnarray*}$

Punkt als zeitliche Ableitung

oder mit $\begin{eqnarray*} k=\frac h {2\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_0=(r_i+k \theta(t))\dot \theta(t) \end{eqnarray*}$ oder

$\begin{eqnarray*} \dot \theta(t)=\frac {v_0}{r_i+\theta(t)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \theta(0)=0 \end{eqnarray*}$

(Differenzialgleichung als Anfangswertproblem)

$\begin{eqnarray*} t=\frac {k} {2v_0}(\theta(t))^2+\frac {r_i}{ v_0} \theta(t) +C \end{eqnarray*}$

der Rest müsste klar sein.

14.11.2011, 22:06

naphtalene

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Vielen Dank schonmal! Ich schau es mir gleich mal in Ruhe an smile

15.11.2011, 00:52

Dopap

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morgen hab' ich erst später wieder Zeit, deshalb

$\begin{eqnarray*} v_0=(r_i+k\theta)\frac {\dd\theta}{\dd t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_0\dd t= (r_i+k\theta)(\dd \theta) \end{eqnarray*}$ Trennung der Variablen

$\begin{eqnarray*} v_0\int \dd t = r_i\int \dd \theta+k\int \theta \dd \theta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_0 t= r_i\theta + \frac 12 k \theta^2 +C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \theta(0)=0 \Rightarrow C=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t= \frac {r_i\theta + \frac 12 k \theta^2}{v_0} \end{eqnarray*}$

Das ist $\begin{eqnarray*} t(\theta) \end{eqnarray*}$ und jetzt noch die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} \theta(t)=... \end{eqnarray*}$

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