ÜA: Konvergenz einer Folge

14.11.2011, 23:10

martinio

ÜA: Konvergenz einer Folge

Hallo,

habe wieder ein Problem bei einer Übungsaufgabe:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a > 0 \end{eqnarray*}$ . Weiter seien $\begin{eqnarray*} a_{1} > \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} : = \frac{1}{2} ( a_{n} + \frac{a}{a_{n}} ) \end{eqnarray*}$ .

Beweisen Sie:

$\begin{eqnarray*} (i) \end{eqnarray*}$ Für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a_{n} > \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (ii) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ ist konvergent mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n} = \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ .

Hab mir gedacht bei $\begin{eqnarray*} (ii) \end{eqnarray*}$ mit der Induktion was zumachen, da ja die Frage nach allen $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist, jedoch weiß ich nicht genau wie zubeginnen ist.

14.11.2011, 23:18

Bjoern1982

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Aber gerade bei (i) steht doch was mit "für alle n aus N", also würde sich doch eher hier Induktion anbieten.
Und bei Induktionen fängt man ja meist mit dem Induktionsanfang an. Augenzwinkern

14.11.2011, 23:28

martinio

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sry meinte auch die $\begin{eqnarray*} (i) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

danke dir ich mache mich sofort an die arbeit.

hab ja jetzt $\begin{eqnarray*} a_{n+1} : = \frac{1}{2} ( a_{n} + \frac{a}{a_{n}} ) \end{eqnarray*}$ gegeben, das ist ja schon der nachfolger für ein n... um den wert für n=1 rauszufinden müsste ich n=0 einsetzen oder? das darf ich aber garnicht , da 0 nicht in den natürlichen zahlen drin ... iwie verwirrend , wie ich den IA jetzt gestalten soll.

14.11.2011, 23:39

Bjoern1982

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Du denkst glaube ich zu kompliziert, es geht hierum:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (i) \end{eqnarray*}$ Für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a_{n} > \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

Zeige bzw begründe, dass diese Ungleichung für n=1 wahr ist.

14.11.2011, 23:55

martinio

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okay

IA: für n=1 gilt: $\begin{eqnarray*} a_{1} > \sqrt{a} \end{eqnarray*}$
das ist ja logisch, beispiel a=4 : $\begin{eqnarray*} 4 >\sqrt{4} = 4 > 2 \end{eqnarray*}$

IS: für n+1 gilt: $\begin{eqnarray*} a_{n+1} : = \frac{1}{2} ( a_{n} + \frac{a}{a_{n}} ) \end{eqnarray*}$
wie solls dann weiter gehen ?

15.11.2011, 00:03

martinio

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got it, i think....

IS: $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_{n} + a_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{2} ( a_{n} + \frac{a}{a_{n}}) + \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

könnte das sein?

obwohl ich mir nicht sicher bin , denn $\begin{eqnarray*} a_{n} > \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ sagt ja explizit, dass es größer und nicht gleich ist...

15.11.2011, 00:04

Bjoern1982

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Merke dir: Beispiele sind nie Beweise, Gegenbeispiele schon. Augenzwinkern

Dass $\begin{eqnarray*} a_{1} > \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ gilt, folgt eben genau deshalb, weil es schon oben in den Vorussetzungen gegeben ist.

Zu zeigen ist danach noch der Induktionsschritt, also dass $\begin{eqnarray*} a_{n+1} > \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ gelten muss.
Dafür kannst du dann den durch die Rekursionsvorschrift gegebenen Term für $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ benutzen und dann mittels der Induktionsvoraussetzung nach unten abschätzen.

Ich bin jetzt im Bett, bei weiteren Fragen kann gern jemand anderes übernehmen. Wink

16.11.2011, 10:36

kosa

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zuerst mal danke für die verlinkung Augenzwinkern

jetzt aber noch ne frage.. wenn ich jetzt also den term für a(n+1) benutze.. wie kann ich dann die i-voraussetzung nach unten abschätzen?

16.11.2011, 11:05

René Gruber

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Ich sehe keine Verlinkung, aber angebracht wäre sie:

konvergenz

Man muss ja nicht ein- und dieselbe Aufgabe am selben Tag in mehreren Threads besprechen. Augenzwinkern

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