Grenzwert von Xn+1 = 1 + 1/(Xn)

15.11.2011, 11:11

vardump

Grenzwert von Xn+1 = 1 + 1/(Xn)

Meine Frage:
Gegeben:
$\begin{eqnarray*} x_{1} = 1, x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_{n}} \end{eqnarray*}$
zZ. Xn konvergiert , der Grenzwert ist zu bestimmen
Hinweis: Man soll für die Folgen $\begin{eqnarray*} (x_{2n}),n \in N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x_{2n-1}) n \in N \end{eqnarray*}$ zeigen, dass sie monoton gegen den Grenzwert konvergieren.

Meine Ideen:
Da $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ gegen einen Grenzwert konvergiert, ist irgendwann $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ fast gleich $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ .
Also: $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_{n} \end{eqnarray*}$
1. Teilfolge: $\begin{eqnarray*} x_{2n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2n}= 1 + 1/x_{2n} \end{eqnarray*}$
Umgeformt:
$\begin{eqnarray*} (x_{2n})² -x_{2n} -1 = 0 \end{eqnarray*}$
PQ-Formel:
$\begin{eqnarray*} x1 = \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{5}{4}} <br /> x2 = \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{5}{4}} \end{eqnarray*}$

Das gleiche kommt entsprechend für $\begin{eqnarray*} x_{2n-1} \end{eqnarray*}$ raus.

Jetzt weiß ich nicht weiter. Konnte ich hier die PQ eigentlich anwenden?
Sind die Grenzwerte jetzt einfach $\begin{eqnarray*} x1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x2 \end{eqnarray*}$ ?

Schonmal vielen Danke im Vorraus.

15.11.2011, 11:31

klarsoweit

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RE: Grenzwert von Xn+1 = 1 + 1/(Xn)

Zitat:

Original von vardump
Da $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ gegen einen Grenzwert konvergiert, ist irgendwann $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ fast gleich $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ .
Also: $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_{n} \end{eqnarray*}$

Die Idee geht zwar in die richtige Richtung, ist aber in dieser Form falsch umgesetzt. So wird ein Schuh draus:

Wenn die Folge x_n konvergiert (meinetwegen gegen den Grenzwert g), dann muß gelten:

$\begin{eqnarray*} g = 1 + \frac 1 g \end{eqnarray*}$

Das kann man nach g auflösen. Da - wie man leicht sieht - x_n immer > 0 ist, kommen negative Lösungen dieser Gleichung nicht in Frage.

15.11.2011, 12:38

vardump

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Klasse! Dankeschön. Würdest du den Hinweis mit x_2n und x_2n-1 dann einfach igrnorieren? Denn jetzt hat man das ganze ja eigentlich schon gelöst.

15.11.2011, 12:54

klarsoweit

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Weit gefehlt. Jetzt geht es erst richtig los. Du mußt schließlich noch die Konvergenz zeigen. Das geht mit diesen Teilfolgen. Zeige erstmal, daß diese monoton sind.

15.11.2011, 12:55

Duedi

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Da klarsoweit gerade nicht online ist:
Der Hinweis bezieht sich auf den Beweis zur Konvergenz der Folge. klarsoweits Tipp bezog sich auf die tatsächliche Berechnung des Grenzwerts, falls die Konvergenz gesichert ist.
Du musst also zwei verschiedene Dinge machen:
1.) Konvergenz der Folge beweisen
2.) Grenzwert bestimmen, falls 1.) funktioniert

EDIT: Ups Augenzwinkern

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